Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
X !(И|^2 — ihvx)l’+l*~l" (м,х, -)- (т),х, -)- +1>+г ].
00
Применим к обеим частям полученного равенства разложение (9), подставим выражения (1) для Ul> и т. д., после чего сравним
200 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ill
коэффициенты слева и справа. Мы получим
аС(4, 4> /; j, k, j-\- k) =
= Ё aa"C 4 j', к', / + k') С (l{, 11, /', к", j" + k”).
J’+J"=J
(12)
Здесь для краткости положено
/ (4 + и — 1)1 (/+*!- /2)1 (/ - 4 + /2)! (/, + /, + /+ 1)1
У (2/ + 1) (4 + У)! (4 —У)! (4 + А)! (4 — А)! (/ + У + А)! (/ — У — А)!
и аналогичный смысл имеют а' и а"’ (с заменой 1Ь 4, I, у, k на 1\,
4 л у, ы или /;, 4, г, /', л").
Положим в тождестве (12) l[=~t 1^ = ^-, ?'= 0. В этом слу-
•tf Lfr ‘ft 1 1
чае у ид могут принимать лишь значения j =-^, к =------------------или
]" =---А"’=~. Из формул (1) п. 5 и (1) п. 4 следует, что
с (4-, 4, 0; 4. — 4, oW— С|4. 4. 0; —4.4, о
, 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ ; V 2 ’ 2 ’ ’ 2 ’ 2 ’ 1 ~ у~2 ’
и потому получаем
С(4 4 /; j, k, J + k) = Yi) (/! +1, +7 + i)‘x
X ['/(А +УХ4 — к) С ^4------2"> ^ 2 ’ ^ j —~2’ ^ ~^~2’ У’ + А) —
— V(h —У)(4 + ^) С (4-------, 4---2’ ^ J JT~2’ к----2 ’ -^4”
(13)
Аналогично, полагая l\=~, 4 = 0, Г = ~, получаем
С (4, 4 1\ У, к, ]-\-к) = У 2/ (/ + hH11 + 4 + I + 1) Х X []^ (А “ЬУ) 0+ ^ “ЬУ) ^ ^, 4> I 2“', У 2", к, k-\-j—-(-
+ Vih-m-k-h с (4 - у, 4 /-у; У+у > k> k +J'+ т)1 • 4)
ГЛАВА IV
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
В этой главе будут изучены функции Бесселя. Подобно тому как изучение многочленов Лежандра и Якоби оказалось связано с представлениями группы вращений трехмерного евклидова пространства, изучение функций Бесселя связано с представлениями группы М (2) движений евклидовой плоскости. При этом возникают осложнения, вызванные некомпактностью группы движений плоскости.
§ 1. Группа М (2)
1. Определение. Движениями евклидовой плоскости называются преобразования этой плоскости в себя, сохраняющие расстояния между точками и не меняющие ориентации плоскости. Примерами движений являются параллельные переносы плоскости и вращения плоскости вокруг некоторой точки. Множество всех движений плоскости образует группу. Мы будем обозначать ее через М (2).
Выберем на плоскости систему декартовых координат. Из аналитической геометрии известно, что каждое движение плоскости задается в этой системе координат следующим образом: движение g переводит точку Р (дг, у) в точку Р' (х>, у'), где
х' = х cos а —у sin а а,
у' = х sin cr. -j-у cos а -j- b.
Очевидно, что числа а, Ь, а однозначно определяют движение g и
однозначно определяются этим движением (параметр а—с точностью
до слагаемого, кратного 2-к). Поэтому каждый элемент g группы М (2) задается тремя параметрами, а, Ь, а, где
— оо<^а<^оо,
— оо<?<оо,. О а 2ir.
(2)
202
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. IV
Будем обозначать элемент g группы М (2), задаваемый параметрами
а, Ь, а, через g(a, b, а).
Укажем некоторые другие реализации группы М (2). Каждому движению g(a, b, а) поставим в соответствие матрицу
Поэтому Т (g) является представлением группы М (2). Это представление точно, т. е. Т (gi) ф Т (g2), если g1^gi. Таким образом, группа М (2) реализуется как группа вещественных матриц третьего порядка, имеющих вид (3).
Группу М (2) можно реализовать и с помощью комплексных матриц второго порядка. Именно, движению g(a, b, а) поставим в соответствие матрицу
где z = a-\-bl. Легко проверить, что Q(gi) Q(gd — Q(gigd и Q(g\) Ф Q (gi), если gi ф gq.
2. Параметризации. Одну из параметризаций группы М(2) мы уже указали выше. Именно, было показано, что каждый элемент g этой группы задается тремя числами, а, Ь, а. Найдем, как выражаются параметры произведения двух элементов группы через параметры сомножителей. Пусть gl = g(ab Ьь а^. и gi = g{a%, Ьъ оц). Перемножая матрицы Т(gi) и Г (g%), получаем
Отсюда следует, что параметры а, Ь, а элемента g=gtg2 выражаются следующими формулами:
Полученные формулы можно записать в следующем виде. Обозначим вектор (аь /;,) через х, а вектор (аь /;2) через у. Далее, обозна-
(3)
Простой подсчет показывает, что
T(g1)T(g,)=T(glgi).
(4)
т (g\gi) = т fe)т Ы =
(cos (а, + Ota) — = ! sin (ctj -f ч)
Vo
— sin (aj -(-as) ax a2 cos — b2 sin аД
