Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Jn-m (Я) Jm (R)=¦~ J eiin ^Jn (2R COS ср) rfcp. (2)
Сделаем в формуле (1) замену переменной, приняв за переменную интегрирования г. При изменении ср2 от 0 до и переменная г меняется от rj -)- г2 до | Tj — га |, а при изменении сра от я до 2я меняется от
I fi — га1 до г, -(- га. Кроме того,
dr _ _ V 4rfr% — (ra — rf — rf)2 d<f2 ¦+¦ 2r
где при 0 ==? cp2 < it берем знак —, а при я =g: ср2 2тс знак . Поэтому имеем
'-1 + '‘2
Л-*(Г1)Л,(г,) = 4 ^ е^-^-г==^Щ^=====, (3)
J у 4г\г% — (г — ^ Гч)
Н1 ^*21
где ср и сра связаны с г формулами (2)—(2") п. 1.
Особенно простой вид принимает равенство (3) при т = п — 0. Именно, мы имеем
Л(Г1)Л(Г*) = — ( -гг--- rJ°(r)dr (4)
* J ./4rfr|-(r2-r?-rl)2
I О —''2 I
Выражение в знаменателе подынтегральной функции равно учетверенной площади треугольника со сторонами г±, га, г.
3. Рекуррентные формулы. Как и для функций Ртл(сos 0), рекуррентные формулы для функций Бесселя вытекают из формулы сложения. Именно, если считать в этой формуле га бесконечно малой величиной, то формула сложения приведет к рекуррентным соотношениям.
Сначала найдем значения производных функций Бесселя при д; = 0. Продифференцировав формулу (8) из п. 1 § 3 по х и положив .* = 0,
216 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
получим
2л 2л
Ул(0)=^ ^ е~ы!> sin в d& = ~ [ [e-<»-i>a_ e-(n+1)“]rfe. (1)
О о
Этот интеграл отличен от нуля лишь при tt = ± 1. При этом
y;(0) = -yi1(0)=i-.
Продифференцируем теперь обе части равенства (5) п. 1 по га и положим г2 = 0. Используя найденные значения Ул(0) и заменяя Tj на х, получаем рекуррентную формулу
2/л (2)
Точно так же, дифференцируя обе части формулы (7) из п. 1 по г2 и полагая г2 = 0, гх=х, получаем
^Jn(x) = J^(x) + Jn+i(x). (3)
Складывая и вычитая формулы (2) и (3), находим
Jn-x{x)=~Jn{x) + J'n{x), (4)
4!,W="4W-iW. (5)
Эти формулы можно записать также в виде
±{xnJn{x)}=xnJn^{xl (6)
4 {x-nJn (*)}=-(*), (7)
или же в виде
J,-,<x>=i/‘: + ?':J,:<x>, (8)
/,..(•*> =(-7-?)¦/.(*>• (9)
4. Дифференциальное уравнение. Из рекуррентных формул (8) и (9) п. 3 сразу вытекает дифференциальное уравнение для функций Бесселя. Применим к обеим частям равенства (8) п. 3 дифференциальный оператор п х 1 — В силу равенства (9) п. 3 получим тогда
¦/.м=р=^-йНт+?)•'¦<*> : т
или же
х*Гп (*) + xJ'n (х) + (х1 — л2) Jn (х) = 0. (!')
§ 4) ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 217
Уравнение (l^, которому удовлетворяет функция Jn(x), называют дифференциальным уравнением Бесселя. Ниже мы дадим еще один вывод этого уравнения и рекуррентных формул.
Мы доказали, таким образом, что Jn (лг) является собственной функцией дифференциального оператора
<2>
соответствующей собственному значению я2 при граничных условиях: Jn(x) конечна при л:=0. Можно доказать, что этим исчерпываются все (с точностью до постоянного множителя) собственные функции оператора (2), конечные при jc = 0.
5. Производящая функция. Другой путь вывода рекуррентных соотношений для функций Бесселя основан на применении производящей функции. Чтобы получить эту функцию, воспользуемся интегральным представлением
2it
Jn(x) = ~ ^ <?«•* Sin о -Ш0 ^9 (!)
о
этих функций. Формула (1) означает, что Jn(x) является п-м коэффициентом Фурье функции /(9) = e‘xsinB. Поэтому имеет место равенство
СО
e«*sinO_ 2 J„ (х) е'пв. (2)
п ** — СО
Таким образом, eixsinB является производящей функцией для Jn(x). Из равенства (2) вытекает ряд соотношений для функций Бесселя.
Положив в этом равенстве 0 = -^-, получим
СО
2 inJn(x) = eix. (3)
п — — СО
Точно так же, полагая 0 =— находим
СО
2 i~nJn(x) = e-ix. С4)
_.л = — СО