Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 95

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 241 >> Следующая


Jn-m (Я) Jm (R)=¦~ J eiin ^Jn (2R COS ср) rfcp. (2)

Сделаем в формуле (1) замену переменной, приняв за переменную интегрирования г. При изменении ср2 от 0 до и переменная г меняется от rj -)- г2 до | Tj — га |, а при изменении сра от я до 2я меняется от

I fi — га1 до г, -(- га. Кроме того,

dr _ _ V 4rfr% — (ra — rf — rf)2 d<f2 ¦+¦ 2r

где при 0 ==? cp2 < it берем знак —, а при я =g: ср2 2тс знак . Поэтому имеем

'-1 + '‘2

Л-*(Г1)Л,(г,) = 4 ^ е^-^-г==^Щ^=====, (3)

J у 4г\г% — (г — ^ Гч)

Н1 ^*21

где ср и сра связаны с г формулами (2)—(2") п. 1.

Особенно простой вид принимает равенство (3) при т = п — 0. Именно, мы имеем

Л(Г1)Л(Г*) = — ( -гг--- rJ°(r)dr (4)

* J ./4rfr|-(r2-r?-rl)2

I О —''2 I

Выражение в знаменателе подынтегральной функции равно учетверенной площади треугольника со сторонами г±, га, г.

3. Рекуррентные формулы. Как и для функций Ртл(сos 0), рекуррентные формулы для функций Бесселя вытекают из формулы сложения. Именно, если считать в этой формуле га бесконечно малой величиной, то формула сложения приведет к рекуррентным соотношениям.

Сначала найдем значения производных функций Бесселя при д; = 0. Продифференцировав формулу (8) из п. 1 § 3 по х и положив .* = 0,
216 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV

получим

2л 2л

Ул(0)=^ ^ е~ы!> sin в d& = ~ [ [e-<»-i>a_ e-(n+1)“]rfe. (1)

О о

Этот интеграл отличен от нуля лишь при tt = ± 1. При этом

y;(0) = -yi1(0)=i-.

Продифференцируем теперь обе части равенства (5) п. 1 по га и положим г2 = 0. Используя найденные значения Ул(0) и заменяя Tj на х, получаем рекуррентную формулу

2/л (2)

Точно так же, дифференцируя обе части формулы (7) из п. 1 по г2 и полагая г2 = 0, гх=х, получаем

^Jn(x) = J^(x) + Jn+i(x). (3)

Складывая и вычитая формулы (2) и (3), находим

Jn-x{x)=~Jn{x) + J'n{x), (4)

4!,W="4W-iW. (5)

Эти формулы можно записать также в виде

±{xnJn{x)}=xnJn^{xl (6)

4 {x-nJn (*)}=-(*), (7)

или же в виде

J,-,<x>=i/‘: + ?':J,:<x>, (8)

/,..(•*> =(-7-?)¦/.(*>• (9)

4. Дифференциальное уравнение. Из рекуррентных формул (8) и (9) п. 3 сразу вытекает дифференциальное уравнение для функций Бесселя. Применим к обеим частям равенства (8) п. 3 дифференциальный оператор п х 1 — В силу равенства (9) п. 3 получим тогда

¦/.м=р=^-йНт+?)•'¦<*> : т

или же

х*Гп (*) + xJ'n (х) + (х1 — л2) Jn (х) = 0. (!')
§ 4) ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 217

Уравнение (l^, которому удовлетворяет функция Jn(x), называют дифференциальным уравнением Бесселя. Ниже мы дадим еще один вывод этого уравнения и рекуррентных формул.

Мы доказали, таким образом, что Jn (лг) является собственной функцией дифференциального оператора

<2>

соответствующей собственному значению я2 при граничных условиях: Jn(x) конечна при л:=0. Можно доказать, что этим исчерпываются все (с точностью до постоянного множителя) собственные функции оператора (2), конечные при jc = 0.

5. Производящая функция. Другой путь вывода рекуррентных соотношений для функций Бесселя основан на применении производящей функции. Чтобы получить эту функцию, воспользуемся интегральным представлением

2it

Jn(x) = ~ ^ <?«•* Sin о -Ш0 ^9 (!)

о

этих функций. Формула (1) означает, что Jn(x) является п-м коэффициентом Фурье функции /(9) = e‘xsinB. Поэтому имеет место равенство

СО

e«*sinO_ 2 J„ (х) е'пв. (2)

п ** — СО

Таким образом, eixsinB является производящей функцией для Jn(x). Из равенства (2) вытекает ряд соотношений для функций Бесселя.

Положив в этом равенстве 0 = -^-, получим

СО

2 inJn(x) = eix. (3)

п — — СО

Точно так же, полагая 0 =— находим

СО

2 i~nJn(x) = e-ix. С4)

_.л = — СО
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed