Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, полагая 9 = 0, получаем
СО
2 '»(*)=*¦ (б)
п = — ОО
6. Рекуррентные соотношения. Воспользуемся производящей функцией, выведенной в п. 5, чтобы получить новый вывод рекур-
218
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ (ГЛ. IV
рентных соотношений для функций Бесселя. Продифференцируем равенство (2) п. 5 по лг. В силу формулы Эйлера находим
СО
,1пв= 2 Jn ^ (О
п = — со
Применим к выражению в левой части разложение (2) п. 5 и сравним коэффициенты при е‘пВ слева и справа:
Jn(x)=^(Jrl_l(x)-Jn+l(x)). (2)
Далее продифференцируем обе части разложения (2) п. 5 по 9 и при-
меним формулу Эйлера:
СО
±.(еп-^-е-п)хе1*Ла9= ^ nJn(x)eint. (3)
п = — СО
Разложив выражение в левой части по формуле (2) п. 5 и сравнив коэффициенты при е1гЛ, получаем рекуррентную формулу:
Jn_A(x)-\-JniA(x)=2"-Jn{x)- (4)
Мы получили, таким образом, новый вывод формул (2) и (3) п. 3.
§ 5. Разложения представлений группы М (2) и преобразование Фурье — Бесселя
Подобно тому как функции на сфере разлагаются в ряды по сферическим функциям, можно разлагать функции на евклидовой плоскости в ряды и интегралы по функциям Бесселя. Это связано с разложением некоторых представлений группы М(2) на неприводимые и разложением пространств неприводимых представлений на подпространства, инвариантные относительно операторов Т(и>), w й3 (й3 — подгруппа вращений плоскости).
1. Квазирегулярное представление. Так как элементами группы М (2) являются движения плоскости, естественно строить представления этой группы в пространстве функций f(x,y)=f(x), заданных на плоскости. Обозначим через пространство функций двух переменных f(x, у), —со<^лг<^со, —со<0><^со, таких> чт0
СО СО
\ \ \f(x,y)\*dxdy<^-\-co. (1)
— СО — со
Каждому элементу g группы М (2) поставим в соответствие оператор L(g), переводящий функцию /(х) в функцию
Ш/(х)=/(Г*х). (2)
§5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ 219
Здесь, как обычно, через gx обозначена точка, в которую переходит точка плоскости х при движении g.
Равенство (2) можно записать также в следующем виде:
Ite)/(x)=/[(x-a)J, (2')
где g = g(а, а).
Так как
L Ы L fe)/ (х) = L Ы/О^х) =
=/fea'gT1 х) =/ 1 x] = L (gigi)f (х),
то L(g) является представлением группы М(2). Это представление унитарно в силу инвариантности евклидовой меры dx=dxdy при сдвигах плоскости
5 I/to-1*) Р <*х = $|/(х) |adtex) = $|/(x) |adx.
Назовем представление L (g) квазирегулярным представлением
группы М (2),
Нам нужно разложить это представление на неприводимые. Воспользуемся для этого преобразованием Фурье. Каждой функции /(х) из поставим в соответствие ее преобразование Фурье
/7(У) = 5/(х)ег(х’У) dx,
где (х, у) = х1у1-}-х^.
Найдем, как преобразуются при переходе от /(х) к F (у) операторы L(g) квазирегулярного представления. Преобразованием Фурье функции L (g)f(x)—f (g~l х) является
Fg(y) = l\f (iTl х) (Х| у) dx. (3)
Из инвариантности меры dx относительно сдвигов вытекает
^(y) = ^(x)e‘'(?X'y)c?x-
Если g-=g-(b, а) (см. § 1 п. 1), то движение g переводит вектор х в вектор ха +Ь, где ха—вектор, в который переходит х при вращении на угол а. Поэтому
Fg (у) = $/(х) е'1 (ха + ь' у'1 dx =
= е1 (ь.у) $ f(x) е‘<*• У-*Ых = е'1 у) F(y_J. (4)
Итак, мы доказали, что при преобразовании Фурье оператор L(g)
переходит в оператор L (g):
l(g)F(y) = ei^y)F(y_J, (5)
где g = g(b, а).
Представление L(g) группы М(2) эквивалентно представлению L(g), Так как L (g) = QL (g) Q~l, где Q—оператор преобразования Фурье.
220 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ (ГЛ. IV
Поэтому задача о разложении квазирегулярного представления равносильна задаче о разложении представления L(g). Перейдем к решению этой задачи.
Функции F(у), являющиеся преобразованиями Фурье функций/(х) из образуют гильбертово пространство 8а, состоящее из функций, для которых
ll^lf=S l/7(y)i2^<°°- (6)
Мы разложим сейчас это гильбертово пространство в непрерывную
прямую сумму гильбертовых пространств ^>R, таких, что операто-
