Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
sin ф)* (1)
*) Группа М (2) является подгруппой в группе движений и отражений плоскости. Оператор Q является оператором в представлении этой боле& широкой группы, соответствующим отражению в оси Ох.
§4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 213
Но по формуле Эйлера
к
V (_!)"• cfe(k-2m)^
(islnf r = ^=f*r.= ^-------------------------. (2)
Подставим это выражение в формулу (1). Мы получим, что ак отлично от нуля лишь, если k — п — четное неотрицательное число, k — п = 2т, m^zO. Если k = n-\- 2т, то
(--1Г _ (- 0т
Поэтому
2km\(k — т)\ 2П+Шт\(п -)- т)\'
лм=(1Г2 2--J(»+“)i • га
ш = О
Разложение (3), очевидно, сходится для всех комплексных значений г. Функции Бесселя являются целыми функциями от г. Из формулы (3) видно, что при вещественных значениях х функция Jn(x) принимает вещественные значения.
§ 4. Функциональные соотношения для функций Бесселя
1. Теорема сложения. Теорема сложения для функций Бесселя выводится аналогично тому, как это было сделано в п. 1 § 4 главы III для функции Plmn (cos 0). Мы будем исходить из равенства Tit(gigi)= Ttffei) Ttffe). Это равенство записывается через матричные элементы следующим образом:
СО
tmn (g\gi)= 2 tmk{g\)tkn{gi)- (I)
k =— СО
Положим в этом соотношении gx = g(rb 0, 0) и g<i = g(ri, <ра, 0). Тогда параметры г, ср, а, определяющие движение g=g\gi, выражаются через параметры гь га, ср2 по следующим формулам:
r = Vr\-\-r\-\-2rlri cos ср2, (2)
(2f)
a = 0 Г (2")
(CM. § 1 n. 2).
Подставим в равенство (1) выражение матричных элементов, даваемое формулой (10) п. 1 § 3, и положим т = 0, R = i. После простых преобразований получим
СО
einfJn(r)— Ц ЫЛЫ (3)
k — — ОО
214 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
где г, Г], га, ср, сра связаны соотношениями (2) — (2"). Графически связь величин г, rt, га, ср, сра дана на рис. 2. Формула (3) называется формулой сложения для функций Бесселя. В частности, при п = О
получаем из нее
СО
мг)= 2 (--1)/г^-'4(п)Л(^)-
—со
(4)
Отметим еще следующие частные случаи формулы (3). При сра = 0 име-
0 rf х ем г =rt —j— га, ср = 0, и потому
Рис. 2.
Jn (ri rss) = 2 “^л,г (ri) А (га)- (5)
k —СО
Далее, при <ра = ти, имеем r = rj — г2, ср = 0. Поэтому при
СО
л S (-i)*-W'i)4ta). (6)
h— — со
Наконец, еслисра = у, то из формулы (3) вытекает, что
Л СО
2 гЧ-*(г1)Л(гО. (7)
&= — СО
Положим в равенстве (6) rt=ra = r. Мы получим, принимая во внимание формулу (1) п. 2 § 3,
, _?/.«мл<г>=л<о)={;
(формула Хансена). Формулу Хансена можно вывести также из того, что матрица (?тп{г)) унитарна, а потому (^ (г)) (tlmn (г))* = е, где е — единичная матрица.
2. Формула умножения. Умножим обе части формулы сложения (3) из п. 1 на е~1т^12тс и проинтегрируем по сра от 0 до 2тс. В силу ортогональности функций е'-'4’2 все слагаемые обратятся в нуль, за исключением слагаемого, для которого k = т. Отсюда вытекает, что
2тс
^y>^-^Jn(r)d92 = Jn_m(ri)Jm(r,), (1)
§ 4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 215
где ср, г I, г а, г связаны соотношениями (2)—(2") п. 1. Будем называть равенство (1) формулой умножения для функции Бесселя.
Отметим геометрический смысл формулы (1). При фиксированных rL и Г3 точка с полярными координатами (г, у) описывает при изменении »2 от О до 2л окружность, центр которой находится в точке А (ги 0), а радиус равен га. Таким образом, выражение в правой части формулы (1) есть не что иное, как среднее значение функции по этой окружности.
Укажем частный случай формулы (1). При ri~ri=R имеем г = 2R cos у, ср=^; и поэтому
Я
