Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
О)
Это тождество доказывается следующим образом.
Реализуем представление 74(g) в пространстве ^ однородных многочленов степени 24 от двух переменных1). Одночлены Uj1 образуют канонический базис в этом пространстве. Точно так же одночлены Vlk образуют канонический базис в пространстве представления Ti2(g). Отсюда вытекает, что одночлены Uj1 Vk\ —/, -^ j
— 4 sg ? sg: 4 образуют ортогональный нормированный базис в пространстве «?>/., представления (g) ® 74(g)- Представление
74(g)® 74(g) группы SU(2) в пространстве фа®^/2 связано с преобразованиями переменных
— |и8) |
Щ —¦> “I- ЯИ2', j
Vz -> рг»! + аг»2.
Введем переменные х1 и дт2, преобразующиеся по формулам х, ->¦ ах, — рх.>,
I (3)
Л"._> —>¦ За" ] —|— GCXg
(т. е. контрагредиентные переменным щ и н2)> и рассмотрим тождество
(?,+?/ =(2/)! 2 V'mK’ (4)
m — — I
*) См. формулы (4) п. 4 | 2 и (5) п. 1 § 2,
198 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
где
; u\~sul2+s
и°~ /17+7)! (/-5)! ‘
Левая часть этого выражения инвариантна относительно преобразований (2') и (3). Поэтому при указанных преобразованиях величины Ulm преобразуются контрагредиентно величинам X1 .
С другой стороны, выражение А также инвариантно относительно преобразований (2'), (2) и (3). Поэтому если представить А в виде
Л= 2 K.XL- <5>
т — ~1
то коэффициенты W1 (зависящие от щ, щ, V\, г»г) при преобразованиях (2'), (2") преобразуются контрагредиентно с X1 . Но тогда они преобразуются так же, как и Ulm> т- е< по представлению Tt(g).
Это означает, что коэффициенты W1 в разложении (5) преобразуются по представлению Tt (g). Поэтому многочлены W1 могут отличаться от элементов канонического базиса в неприводимом инвариантном подпространстве пространства (х) ф/а лишь общим скалярным множителем.
Принимая во внимание равенство (7) п. 2, выводим отсюда, что s)
W\n = р(4, и, I) 2 2 С (А, 4, /; у, к, т)Щ V1*,
j= —k'= — l-j,
и потому
A = (aiv<1, — (hjATj -|- и<ьХг)11-12+1^хХ1 -fn,x,)-'i+'2+i —
= p(4, k, Г) % Z C(/„ 4, /; j, k, j + k)Ulf V'*X'J + k. (6)
] = — h k — — l2
Раскрывая скобки в левой части этого равенства, получаем после несложных преобразований
Р (4> 4> О С(/„ 4, /; у, к, у-|-?) =
= (А 4 — О К4 — 4 ~W) •' О ^ — А) • х
X V (4+Ж(4 — У)! (4 + т* - к)\ (/ + ;• + fe)l (/ - feji
Ал (h—J—sy. (/-/3+;+s)! (4+ft—s)! (/—4-fc+s)! s! (4+4—/-s)!’ 1 ’ г
где
T — шах (0, k —{— 4 — А 4 ~~ I —у), Q = min (4 —у, 4 -j- к> 4 -j- 4 — О*
*) Напомним, что в выбранной нами нормировке коэффициенты Клебша— Гордана, действительны, а также, что отличны от нуля лишь коэффициенты, для которых m = / + Ц,
§8] КбЭФФЙЦИЕН1Ы КЛЕБША - ГО^ДЛИА 19Й
Чтобы найти нормирующий множитель р (1Ь /а, /), положим в равенстве (7) j = /j, k =— /а и используем формулу (12) п. 3. При выбранных значениях j и k в сумме (7) остается лишь слагаемое, для которого s = 0, и мы получаем равенство
р(л. о у
= /(2 /,)! (24)! (/ + /!- 4)!(/-/, + 4)!'
Отсюда имеем
Р (/i> /s> /) = + 1* — Q! (/ + Л - Щ/ -/1 + /,)1 (/i + /» + /+ 1)! _ (8)
Следовательно, из формулы (6) получаем
(н,г>2— 1цух)Ч+12~1 (иххъ-^ щх^'-1^+1 {vlxxJrv<ix^-li+l2+l =
— 1 А(Л + ^ - 01 (* + Л - /»)'• (l — h + 4)1 Vi +'/, + /+ 1)! v У 21 + 1 X
/j
X S 2 C(/t, 4 /; y, A, y + A)^it/'»A5+ft, (9)
-l. k = —U
где U1.1, Vlg и задаются формулами (1).
Тем самым наше утверждение доказано. Попутно мы получили новое разложение для коэффициентов Клебша—Гордана:
С(/„ К /; ], k, J + k) =
— 1 / (2/ + 1) (Л + /, - Q1 (0 - /. + 0! (/ + /,- 0)'- v ~ У (0 + 4 + I + 1)!
х У ("I)5 V (4+7)1 (0 —л}- (4 + k)\ (/, - fe)l (/ + ;• + k)\ (l—J — ky. n0 •
(l1-j-s)\(l-ls+j+s)\(l1+k-s)l(l-l1-k+s)\s\(l1+l2-l-s)\ ¦ ^ ;
Тождество (9) и дает производящую функцию для коэффициентов Клебша—Гордана. Как и производящую функцию для Р1тп{х)> ее можно использовать, чтобы получить ряд новых свойств указанных коэффициентов.
Пусть 4 = 4 +4 = 4 + 1 = 1' Г. Тогда имеет место тож-
дество
(и^ — (ii\X\ -)- щх$1-1*+1 (г»!^ -)- угХъ)-1'+1*+1 =
= [(«1^2 — едУ1+га-г (н1д:1-)-и2Л5!)г1“га+г (г»,^]Х
