Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Иными словами,
h + h
Th00®Th00= Ц Т, (гг). (5)
i = I h - h I
Будем в дальнейшем обозначать через и пространства представлений Tit (гг), Ti, (г/), а через — инвариантные подпространства в ® в которых реализуются представления 7'г (гг), ] /, — 4 |
==? ^ l\ -|- U. Ясно, что
?i®&= ^ (6)
/ = I h - h I
Формула (13) п. 7 § 4 главы I дает выражение кратности, с которой представление 7}(гг) входит в Ttl (гг) (g) Тц(и), через характеры
КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША — ГОРДАНА
183
этих представлений. Подставляя в эту формулу выражение (5) из п. 1 § 7 для (гг) и выражение (3) из п. 2 § 6 для du, приходим к следующему выводу: интеграл
где 1Ь 1.г, I—целые или полуцелые числа, равен единице в случае, когда 2 (/х —)— /.2 —)— /) — четное число, причем существует треугольник со сторонами 221г, 21, и равен нулю в противном случае.
2. Базисы в пространстве .?), (х) ^.2. В пространстве ^ (х) представления 7^ (гг) (х) Ti2 (гг) есть два интересующих нас базиса. Первый из них образован попарными произведениями
fу (X) hfe, --- /д А /д (1)
векторов канонических базисов пространств и (fj, ——
канонический базис в ^1; a \ik, —— канонический базис в ,?j.2)-Согласно Дополнению к главе I этот базис оргонормирован в (х) Базис в (х) удобен тем, что матричные элементы
оператора 7'/1 (гг) (х) 7/3 (гг) в этом базисе являются произведениями матричных элементов операторов 7/j (гг) и 7}., (гг) в базисах fj и h*. соответственно. Мы будем обозначать эти матричные элементы через
э-jk), (j'k') («)• Таким образом,
= (2)
Второй ортонормированный базис в (х) ^ состоит из векторов канонических базисов неприводимых подпространств на которые разлагается (см. формулу (6) п. 1). Будем обозначать эти
векторы через
aL |/i-/,|^/^/i + /„ (3)
Этот базис удобен тем, что в нем матрица оператора Ttl (гг) (х) 7/2 (гг) клеточно-диагональна, причем на главной диагонали стоят матрицы неприводимых унитарных представлений 7} (гг), ] 4 — 4 ] ^ h 4 группы SU(2). Обозначим элементы матрицы оператора 7>± (гг) (х) 7}2(гг) в базисе а1 через В., . ... , (гг). Из клеточной диагональности этой
т Г * Цт), [1т) 4 у
матрицы вытекает, что $цт), (i’m') = 0, если 1фГ. Если же 1=1', то
имеем В.. . ,, = tl , (гг). Таким образом,
v{lm), [I'm') mm'v ' г ’
P(/m), (I'm') ~ \ltmm' ^ (4)
Поскольку базисы f „ hft, &1т канонические, матричные элементы tl.j, (гг), (м)> tlmm, (гг) в формулах (2) и (4) выражаются через углы Эйлера
184
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
по формуле (6) п. 3 § 3: *
tlj,(ср, 9, Ф) = <?— »•(/? (cos 0), (5)
и т. д. Так как f (х) hft и агт являются ортонормированными базисами в одном и том же пространстве (х) существует унитарная матрица С, переводящая базис &1т в базис f.(g)hft- Строки этой матрицы обозначаются парой индексов (/, т), а столбцы — парой индексов (/, к) (эти индексы меняются в различных пределах: —4^У^4, — 4 =<; k eg 4 и j/t — 4! ^ | 4 4 |, — l^tn^l). Таким образом,
11 z i: c(lm),{Jk)*m. (6)
/ = I /1 — /г I m = — /
Из унитарности матрицы С вытекает, что
h ___________________
<=2 S C(/mMyft)fy(x)hft. (7)
J = — А = — /2
Во многих случаях бывает полезно явно отметить зависимость матрицы С от параметров 4 и 4- Поэтому вместо С(/т) (/*) пишут С (4, 4, А’ у, k, т) или, короче, C(l, j), где 1 = (4, 4, 0> j = (/> k,m),
С ft j)=C(4, 4, /; у, k, m)=C(lmv (Jk). (8)
Числа С (4, 4, ^У, k, т) называются коэффициентами Клебша — Гор-дана (в работах по физике их часто неправильно называют коэффициентами Клебша — Жордана).
Коэффициенты Клебша — Гордана определены неоднозначно. Дело в том, что векторы канонического базиса определены лишь с точностью до общего множителя, равного по модулю единице (после умножения на такой множитель базис остается ортонормированным и каноническим). Поэтому коэффициенты С(4, 4, 4 У-, k, т) разложения (6) определены с точностью до множителя и1 такого, что ] al ] = 1. Воспользовавшись этой неопределенностью, можно добиться, чтобы выполнялось соотношение
С (4, 4, 4, — А, 4 — 4) 5s 0. (9)
Ниже будет показано, что из выполнения этого соотношения вытекает вещественность всех коэффициентов C(l, j)-
3. Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана. Из того, что базисы f^(x)hft и й1т связаны соотношениями (6) и (7) п. 2, вытекает, что матрицы оператора Tix (и) (х) 7/2 (и) в этих базисах связаны соотношением
