Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, введем конечно-разностный аналог производной — оператор
Д/(а)=/(а-Н)-/(а). (2)
Легко проверить, что
Д а(«) = ла(я-1>> (3)
k
:(_1У1 -i + ky
§ 8] КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА 1 95
С помощью формулы (4) и равенства (14') п. 3 получаем
с (4, 4> 4 У. k, j k)=
~ (2/+ !)(/ + ; + fe)l + /,-/)!
(l — j — W [l+h- /,)! (/ - 4 + /.)! (/ + Л + 4 + 1)! X
i/(Л — y-*rAf-у-(<.+/ + '1~l,).l
(i^jfi-h+J + k) u [ (/i_jfh-i-h) J-
Эта формула является конечно-разностным аналогом формулы (3) п. 4 § 3 для функций Plmn{z)-
Итак, мы доказали, что коэффициенты Клебша —Гордана являются конечно-разностным аналогом функций Plmn{z) — матричных элементов неприводимых унитарных представлений группы SU(2).
Указанная аналогия делает естественным предположение, что коэффициенты Клебша—Гордана обладают свойствами, аналогичными соответствующим свойствам функций Р1тп (г). Ниже указан ряд таких свойств.
8. Рекуррентные формулы. Установим рекуррентные формулы для коэффициентов Клебша — Гордана. Для этого воспользуемся равенством
+ h
f/®h* = 2 С(4, 4./; У. У + *)а' ,
l = \h—la\
где, напомним, |fy} и |hfr} — канонические базисы в пространствах «Ijp! и а {а* }—канонические базисы в пространствах % на которые разлагается 0 ,?><,. Применим к обеим частям этого равен-
ства инфинитезимальный оператор Н+. Так как
w+ (fy 0 ь4) = я+ f; 0 hj -f fy 0 Я+ h*, (2)
a {fy} и {h/;} — канонические базисы, то
(fy ® h*)= — V (4 —j) (4 —{—У —1~ 1) fy +1 ® —
- K(4 - k)(4 + k+T)ь® h*+i (3)
(см. формулу (6) п. 4 § 2). Точно так же имеем
Н+л1. + к — —/ (/—у — k) (/+у + k 1) aj + ft + 1.
Подставим полученные результаты в формулу (2) и разложим
fy + i®hft) fy®hft + 1 по формуле, аналогичной равенству (1). Сравнивая коэффициенты при aj_|_*_|_i, получим
V (4 —У) (4 -\-j 1) С (4, 4> 4 j 1, k, у -j- k 1)
-Ь 1^(4 — k) (4 Ч" ^ 1) с (4> 4. 4 у> ? -(-1 > у1 k i) =
= /('-У-*)('+У + * + 1)‘с(4. 4> 4 У. k, / + ?), (4)
8*
196 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
Точно так же, применяя к обеим частям разложения оператор Н_, находим
К(4+У)(4-/+1)С(4, 4, /;/— 1, А,/ + А-1) +
|/ (4 ?) (4 — k 1^ (4> 4, 4 У, k 1, У k i) ==
=]/" 0 У О—у— с (4, 4, У; у, k, у k). (5)
Применение оператора Н_Н+ приводит к разностному уравнению для коэффициентов Клебша — Гордана
[(4 — У) (4 -f-y -f-1) -f- (4 — k) (4 -f- k -|- i) —
(I — j — k) (I у -]- k 1)] С (4, 4, 4 У, k; )-{-k) -f
И(4 —У) (4 +У i) (4 (4 — к -|- 1) X
X с (4, 4, 4 у Ь к — 1 > У ~Ь -Ь + /(4 +У)(4 -у +1) (4 - А) (4 + * + 1) X X С(4, 4, 4У-1, А + 1, у + А) = о. (6)
Это уравнение является аналогом дифференциального уравнения второго порядка для функций Plmn(z) (см. п. 5 § 4).
Выведем теперь рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша — Гордана, связывающие коэффициенты с различными значениями 1Ь 4 и I. Для этого воспользуемся тождеством
^[(i-jO^i+*)*] =
HS-l ffS- 1
= [(1 - (1 + ху-¦‘] - р ^ [(1 - xf--1 (1 + хп
Применим это тождество к равенству (13) п. 3. После простых преобразований получаем
С(/„ 4. /; 1, *. J + = =Х
X (I 4+4)(4+Л-1)с (4 +у,4, l—2”i УН—g-» k, У —1— А —]——
(7)
-]/ 04-4—4)(4+?+1)с(4, 4 + у, ^-f-,/,^+y,y+^+y
Точно так же из формулы (13') п. 3 получаем
X
X^i/V У ^) (4-b/_f'i) с ill ~2~> 1*1—2"*, УН—2*, k,
¦ 1/Г(^+У+А)(4—УН-1)с(^i + у> ^ J~~f> k> J'~^k—2”)]- ^
§8] КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША - ГОРДАНА 197
9. Производящая функция. Ряд новых свойств коэффициентов Клебша — Гордана вытекает из тождества
А = (uxv% — и^У1 + h ~1 («1*1 + -h + i _|_ г)2дг2)- k + h + i=
iM + 'f+'+l)!('i + /|- pi (4 - 4 + Ql (I + —/i)l ~ V 21 + 1 A
X 2 E C(/„ 4, /; j, k, j + k)Uу V^X) ,
у = — A = — /s
где положено
гг?1 JuL1+1' v\2~kvL2+l<
л\ и о 1 г/,
*/'¦ = Л ^
/(4+УЖ4-У)! ’ . й У(/2 + й)!(/2-й)! ’
*./ — m / J-т Л 1 Лп
х1=-х 2
/(/ + «)! (/—щ>!
