Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
\ Г
Из формулы (5) п. 1 § 6 легко следует, что
1 2ж 2ж
^f(u)du = ~ ^ ^ ^/(г, т, g) dad* dr, (3)
ООО
где r=]aj2, T = arga, o = argP- Перейдем в этом интеграле от переменных г, т к переменным а1; а2, где = Мы получим
1 У 1 — af 2ж ^f(u)du=~<\da.x j da-z ^f(u)do. (4)
— 1 _ у 1_„2 6
Так как a1 = cosJ-, то эту формулу можно представить в следующем виде:
2я SU12*
j/(«) du =— j sin ~dt j dcLi^f(u)da. (5)
. t о
— У
Мы выразили инвариантный интеграл по группе SU(2) в параметрах t, <ц, о.
Если функция /(гг) постоянна на классах сопряженных элементов, т. е. зависит только от параметра t, f(u) = F(t), то из формулы (5) вытекает
2я
j /(и) du = j F (t) sin2 у dt. (6)
о
3. Разложение центральных функций. Согласно п. 7 § 4 главы I функция ер (и) на группе SU(2) называется центральной, если
КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЁбША — ГО^ДАНА
181
она постоянна на классах сопряженных элементов в SU(2). Мы показали в п. 1, что классы сопряженных элементов в SU(2) определяются
одним параметром t. Поэтому центральные функции являются функ-
циями одного переменного t\
с?(u) = F(t). (1)
В п. 7 § 4 главы I было показано, что характеры неприводимых унитарных представлений компактной группы образуют полную ортонормированную систему в пространстве центральных функций на этой группе.
Применяя это утверждение к группе SU(2) и к функции f(t) = = F(t) sin получаем следующий результат.
Пусть f(t)— функция на отрезке [0, 2тс], такая, что
2я
1/(01» Л<+оо. (2)
о
Тогда эта функция разлагается в сходящийся в среднем ряд
f(t)= Sin (Л + -^-)г‘- (3)
1 3
где п пробегает значения 0, у, 1, —, ... , и
2 я
а„=-^-j/(Osin(« + y)*fitf. (4)
о
Отсюда легко следует, что система функций {sin Алг}, ? = 1,2,... полна на отрезке [0, тс].
§ 8. Коэффициенты Клебша — Гордана
1. Кронекеровское произведение представлений Tt(u). Пусть Ttl (и) — неприводимое унитарное представление веса I, группы SU(2), a Ti3 (и) — неприводимое унитарное представление веса 4 той же группы. Рассмотрим их кронекеровское произведение
74*0=7^ (и)® 7^ (и). (1)
Наша цель — разложить это представление на неприводимые.
В первую очередь выясним, какие представления входят в разложение представления Т(и) и с какой кратностью они входят. В силу п. 7 § 4 главы I для этого надо разложить произведение характеров
представлений Ttl (и) и Т(и) в сумму характеров неприводимых
представлений.
182 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ill
lt_ _ it
Пусть е2 и е 2—собственные числа матрицы и. Как было показано в п. 1 § 7,
хг1н= ? и мн)= s e~imt-
k = — т = — la
Поэтому При /, 4
xh00xu00 = 2 (2)
т = — h
где для краткости положено e~lt = е. Таким образом,
Vi Ji + m + l__ Em — h
Z/l(«)xls(“)= 2---------------—I--------=
т. — — L,
i
[e(i + h + i —j— _ _. _|_ e(i — + ' — :h — _ — g— h — (3)
Скомбинировав попарно положительные и отрицательные слагаемые, сумма показателей которых равна единице, получим
h + h ... , h+h
(«) Xi3 (и) = 2 ? ?rL? = 2 Хг(гг)-
? == ? = ? j —
При суммирование ведется от /=4 — Д. Итак, доказано, что
\{а)\(и)= W (4)
I = | 11 — (
Это равенство означает, что в разложение представления
T'h 00 0 T'h 00 входят все представления Ti (гг), для которых
] А — 4 | < /<; 1\ —|— /а> 11 I является целым или полуцелым числом одновременно с причем каждое по одному разу.
