Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ОО I
/(«) =2 2 РГе-,т?Я,т(с OS0), (9)
г=о т=—1
где Я™ (cos 6) — присоединенные функции Лежандра. Коэффициенты Фурье равны
2п п
к=\ \/(?’6’0) е!т?РТ (cos 6) sin 6 de d(?- (10)
о о
Совершенно так же решается вопрос о разложении функций,
I е2 0 \
удовлетворяющих при h = \ г/ функциональному уравнению
J
f(hu) = eimtf(u). (11)
Мы обозначим подпространство таких функций через т?2. Как и выше, доказываем, что любая функция / (гг) из т?2 разлагается в ряд вида
f{u) = e~ia* 2 ^ ^-'"^««(cosO), (12)
1~\т \ п =—/
где
^ ^/(0, б, ф) einilPlmn (cos б) sin б dO rfcp. (13)
2ft Я
г _ (— l)m-n(2/-f-l)
a"- 4n
о о
В частности, функции /(гг), не зависящие от угла Эйлера ср, раскладываются в ряд вида
ОО /
/(и) = 2 2 cos б), (14)
где
2я тс
Р? = ^Ь1 J J /(0, б, ф) (cos б) sin б ^б ^ф. (15)
" о о
Обозначим через т?? пересечение подпространств 8^ и т?а. Это подпространство состоит из таких функций /(гг), что
f(h1uki) = e-i(mt^+n^^f (и) (16)
174 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ill
для любых двух матриц
! 11х \ / Ъ.
1
В силу полученных выше результатов имеем;
Любая функция /(и) из подпространства т1'„ разлагается в ряд Фурье вида
СО
/(„>=<Н(т?+Лф) 2 alPmn (cos 0), (17)
1= шах (| т [, | п |)
где коэффициенты Фурье задаются формулами
¦К
a_t = 1)я!:" РШ). ^ /(0, 0, 0)(cos б)sin 0 (18)
о
В частности, отсюда вытекает, что любая функция /{и) на группе SU(2), не зависящая от углов Эйлера ср и ф, разлагается в ряд вида
СО
/(«)= 2 aA(cos0), (19)
о
где
.2/ + 1 С
^ /(0, 0, 0) Р[а (cos 0) sin 0 М. (20)
п — 2
о
Поскольку Pj0(cos д) = Р; (cos 0), то этот ряд можно переписать так:
со
/00= 2 (cos 0), (21)
I =0
где Pt(x) — многочлены Лежандра, а _2/ + 1
^ /(0) Рi (cos 0) sin 6 db. (22)
1 2
и
5. Разложение функций на сфере. Мы построили в предыдущем пункте разложение функций /(и) на группе SU(2) постоянных на левых смежных классах по подгруппе '2 диагональных матриц. Но в п. 7 § 1 было показано, что пространство таких смежных классов можно отождествить с единичной сферой S2 в трехмерном евклидовом пространстве. При этом смежному классу uQ, где и = и(ср, 0, ф), соответствует точка | сферы со сферическими координатами
— ср И 0.
§6] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ Si/(2) 175
Применим полученное в п. 4 разложение к функциям на сфере. Мы получим следующий результат:
Пусть /(|) — функция на единичной сфере S2, такая, что
\\f(W \Щ<СО (1)
(через d\ здесь обозначена нормированная евклидова мера на S2, d\ = ^sin 0 dQ d<?j. Тогда1)
CO I
/(!)=/(?, 0)= 2 ^ P/^fcose). (2)
/ = 0 m = — I
где
2lZ П
W=2Jir JttS S S/(cp’0)(cos 0)sin 0 mdrf- (3)
о 0
При этом
со /
(2/+D ji/(Di*di= 2 2 <4)
l~Q m~ — l
Полученное разложение показывает, что функции
Y (2-^Г+Ж^ (C0S 0) в"г*? =** ^27+1 Yu (ср, б), (5)
