Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/ = 0, 1,
образуют ортогональный нормированный базис на сфере (относительно нормированной евклидовой меры).
Разложение функций на сфере по базису (5) удобно, поскольку присоединенные сферические функции весьма просто преобразуются при вращениях сферы (напомним, что они лишь несущественно отличаются от матричных элементов неприводимых унитарных представлений этой группы).
6. Разложение полей величин на сфере. В прикладных задачах возникает необходимость раскладывать не только скалярные функции на сфере, но и такие объекты, как векторные, тензорные и иные поля. При этом, разумеется, требуется, чтобы компоненты, на которые разлагаются эти поля, достаточно просто преобразовывались при вращениях сферы. Мы покажем сейчас, как выполняются такие разложения.
Введем сначала понятие поля величины на сфере. Пусть Т1 (и) — неприводимое унитарное представление группы SU(2) и § — простран-
J) Здесь ср и в — сферические координаты точки § (?1; 5а> ?з);
= sin ср sin 0, = cos cp sin 0, ?3 = cos 0.
176 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
ство вектор-функций f (§) на сфере S2, принимающих значения в пространстве представления Тг (и). Каждому элементу и из SU(2) поставим в соответствие оператор
V(«)f(S)=7’l(H)f(H-1S) (1)
(напомним, что сфера S2 является однородным пространством с группой движений SU(2) и стационарной подгруппой 2, состоящей из
- * V
_ О г\ '
диагональных матриц h = (
\ 0 е
Легко проверить, что V(u) является представлением группы. Пространство § с заданным в нем представлением V(u) группы S?/(2) назовем полем величин на сфере, преобразующихся по неприводимому унитарному представлению Tt(u) (например, при 1=1 получаем векторное поле на сфере).
Чтобы разложить представление V(гг) на неприводимые, перейдем от функции f(|) на сфере к функциям <р(гг) на группе SU(2) по формулам
«р(и)= V(u~l)f(l0) (2)
(через |0 здесь обозначена точка сферы |0(О, 0, 1)).
Легко показать, что функции (гг) удовлетворяют уравнению
«р (uh) = Тг (/г_1)<р (гг), h ? 2. (3)
При этом операторам V(г/0) соответствуют операторы
V (г?о) (м) = (ио‘п)- (4)
Пространство функций <р (гг) мы будем также обозначать через $• Разложим пространство % в прямую сумму одномерных подпространств инвариантных относительно операторов
<р (гг) — <р (uh), h^Q. Для этого функции <р (гг) из g; поставим в соответствие функции <jpft (гг), — Определяемые формулой
2я
(«) = ^ ^ Ч> iuh (0] e~mdt, (5)
где
Ясно, что
/ -' е2
h(t)=\ _„]• (6) \0 е 2/
qb[uh(a)\ = eika4h(u) (7)
ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Т[ (U)
177
и потому пространство %k функций вида (5) инвариантно при преобразованиях <р (гг) — <р (ith), h^Q. При этом выполняется равенство
i
ф(и)= 2 Ч>*(“) (8)
И
[ V (гг0) <р]* (гг) = <jpft (гг^1 гг). (9)
Эти равенства показывают, что представление V(u) является прямой суммой представлений 1/*(гг) группы SU(2), индуцированных представлениями h(t)—*elkt подгруппы 2. Представления такого вида мы уже умеем разлагать на неприводимые (см. п. 4). Тем самым решена и задача о разложении представления V(гг).
§ 7. Характеры представлений Г* (и)
1. Вычисление характеров. Перейдем к рассмотрению характеров представлений Т[(и). Согласно п. 9 § 1 главы I характером представления Т[(и) группы SU(2) называют след матрицы этого представления. Таким образом, характер ул (и) представления Tt(u) задается формулой
i
гЛи)= 2 tmmiu) О)
тп —— I
или, в углах Эйлера, формулой
i
/л(Ъ д> ф)= 2 ?~im,'fWPlmm(cOs0). (2)
m= — I
Эта формула неудобна, поскольку в ней характер выражен как функция трех переменных ср, ф, 0. Фактически же, как сейчас будет показано, характер (и) является функцией лишь одного переменного. В самом деле, согласно п. 9 § 1 главы I характер представления является функцией на группе, постоянной на классах сопряженных элементов. В нашем случае это означает, что для любых двух элементов в, и к группы SU(2) выполняется равенство
&(н1«нГ)=&(«)• (3)
