Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы показать, что (гг) является функцией одного переменного, достаточно доказать, что классы сопряженных элементов в SU(2) задаются одним параметром. Но из линейной алгебры известно, что любая унитарная унимодулярная матрица и может быть записана в виде и = и1Ьщ1, где их ? S?/(2), а 8 — диагональная
178
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
матрица вида
/ — /
(4)
\0 '
Числа Х = е2 и -^ = <? 2 являются собственными числами матри-
цы и. При этом среди матриц, эквивалентных и, есть лишь еще одна диагональная матрица, а именно, матрица 8', получающаяся из 8 перестановкой диагональных элементов.
Отсюда следует, что каждый класс сопряженных элементов в SU(2) задается одним параметром t, меняющимся в пределах
— 2тс t sg; 2тс, причем параметры t и — t задают один и тот же класс. Поэтому мы можем считать, что характеры ул(и) являются функциями одного переменного t, меняющегося от 0 до 2-к.
Параметр t имеет простой геометрический смысл — он равен углу вращения, которое соответствует матрице и. Таким образом, класс сопряженных элементов в SU(2) состоит из матриц, которым соответствуют вращения на один и тот же угол в трехмерном евклидовом пространстве.
Выведем теперь явное выражение для /л (и) как функции t. Для этого заметим, что при представлении Г, (гг) диагональной матрице 8 соответствует диагональная матрица Ть (8) порядка 2/-)-1, на главной диагонали которой стоят числа e~ikt, —/sg; ?=<:/.
Пусть и = и^щ1. Так как характеры постоянны на классах сопряженных элементов, то
Ул 0!)= Ул (&) — Тг [ Г, (8)] = 2 (5)
* = -2
Суммируя геометрическую прогрессию, получаем
eia+Dt_e-ilt s‘n( 9 ) ^
Xl(^) = —WZ^=~------------f2-, (S')
sinT
it _ tt_
где, напомним, e2 и e 2—собственные числа матрицы и.
Как известно, собственные числа матрицы являются корнями ее характеристического уравнения. Для матрицы
« = (_8 ;)¦ М* + 1Р1* = 1
характеристическое уравнение имеет вид
а — X р
— р а — X
= 0,
§71 характеры представлений t,(V) 179
т. е.
X2 — 2Х Re а + 1 = 0.
Корни этого уравнения выражаются формулой
it_
2 = ё~ 2 = Re а + iV 1 — (Re а)2.
Отсюда
cos ~ = Re а. (6)
Если углы Эйлера матрицы а равны ср, 9, ф, то
a = cos у <?
и потому
Поэтому
Re а = cos у = cos у cos ¦ ^ . (7)
sin( /+ у) *
У.г (и) =--- ----Г— , (8)
sin 4
где cos у выражается через углы Эйлера по формуле (7). Выше мы
получили другое выражение для Xi(u) через углы Эйлера (см. фор-
мулу (2)). Сравнивая два полученных выражения, получаем равенство
1 sin ( I -i-) t
2 е~‘т{^} Plmm(cos 9)= V ¦ tZI , (9)
m = — I sl'n "2"
t i n ^
где cos y= cos у cos - . В частности, при ср = ф = 0 имеем
1 sin f l 0
2 ^»»(cos9) = -l_^_. (10)
m = — I ~2
2. Ортогональность характеров. Как было показано в п. 7 § 4
главы I, характеры неприводимых унитарных представлений компакт-
ной группы образуют ортонормированную систему функций. Поэтому для группы S[J(2) имеем
$ Ъп (и) Хп (м)du = ьтп- С1)
ISO группа унитарныйМатРйц втОРоГО ПОРЯДКА [Гл. 111
В п. 1 было показано, что
sm(,/n + -4)<
Хт (и) —---------7^-, (2)
smi-
±-
где е 2 — собственное значение матрицы и. Чтобы получить из фор-
мулы (1) соотношение ортогональности для функций sin (т ~ j t,
надо выразить инвариантную меру du в новых параметрах, одним из которых является t.
I а
Сначала запишем интеграл в параметрах а, р, где и = I -
