Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Применяя соотношения (1), (2) и (5), получаем
00 00 00
2 Pi (*) h‘ = (1 - hz) 2 ^ - 2 lh‘P‘ (*)• ^
/=0 /=1 /=1
Сравнивая коэффициенты при hl, получаем
= (9)
Складывая формулы (7) и (9), получаем
(2/ + 1) Р, (z) = L [Pj+J {Z) - P,_t (z)}. (10)
Исключая же Pt (z) из соотношений (7) и (9), находим
(2/+1)*^ = ^М) + (/+1)^Ь±Ф (И)
Отметим еще равенство (1 _ dPg) = t [р^ {z) _ zP[ (z)] = (/+ 1} {zPi {z) _ р^ {z)]> (12)
вытекающее из равенств (7) и (9), и уравнения Лежандра d
lil-2^d-4f\ + W+*)PiW=
(см. п. 5 § 4, формула (8)).
166 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
§ 6. Разложение функций на группе SU(2)
В этом параграфе будут изучены разложения функций /(и) на группе SU(2) в ряды по матричным элементам tlmn(u). Как частный случай этих результатов, ‘ будут получены разложения функций и векторных полей на сфере трехмерного евклидова пространства.
1. Инвариантная мера. Так как группа SU(‘2) компактна, то на ней существует инвариантная мера du. Иными словами, существует такая мера du, что
$/(н) du = \/{щи) du = \/{иий) du = du (1)
для всех непрерывных функций /(и) и всех элементов г/0 из SU{2). Найдем выражение этой меры через параметры группы SU{2).
Рассмотрим сначала группу О, состоящую из невырожденных матриц / а р\
вида — —/• Ее элементы задаются любыми парами (а, ?3)
V— Р я/
комплексных чисел. При умножении справа элемента группы G на
а.. р0\
- - из St/(2) параметры а, р претерпевают ли-
• Ро «о/ нейное преобразование
ot'=a0a—рор, |
V = pop + аоР> j
определитель которого равен единице. Отсюда следует, что мера dg= da dad$ еф1) на группе G инвариантна относительно умножения справа на элементы из SU(2).
Введем вместо параметров а = а4-)~га2, рпараметры г, ср, 0, ф, связанные с а и р равенствами
i(<P + ф)
а = г cos -рг е
2
2
i(<t — ф> р = lr sin е 2
(3)
7 а р\
Из равенства (4) п. 1 § 1 следует, что при г= 1 матрица I - - I
V Р а/
принадлежит подгруппе SU{2), причем ср, 0, ф — углы Эйлера этой
матрицы. Простой подсчет показывает, что
da. da. d$ d$ = r3 sin Qdr dQ dy dty. (4)
1 При a = aj-)-ia8 мы полагаем dada =— 2ida1dai.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ SU (2)
167
Но элементы группы SU(2) характеризуются условием r= 1. Поэтому инвариантный интеграл на группе SU(2) задается в углах Эйлера формулой
2и 2и тс
^ /(н) ^ ^ ^ /(ср, 0, ф) sin б dfl dcp dtp (5)
St/(2) —2л О О
(множитель 1/1 бтг- выбран так, что мера всей группы SU(2) равна 1). Отметим, что в силу компактности группы SU(2) интеграл (5) инвариантен не только справа, но и слева:
^ /(г/) du — \f (ищ) da = \f (и0н) du = \f (ii x) du. (6)
Выражение
-js*n 0 dO d<? d<\i (7)
для инвариантной меры на группе SU(2) имеет простой геометрический смысл. Оно лишь множителем— отличается от произведения нормированной евклидовой меры ~ sin 0 rfO tfo на двумерной сфере и нормированной
471“
евклидовой меры J-йф на окружности.
Ztz
2. Соотношения ортогональности для функций Plmn(z). В этом пункте мы применим к группе SU(2) теоремы ортогональности и полноты системы матричных элементов попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представлений компактной группы (см. п. 3 § 4 главы I). Поскольку размерность представления Tt (и) группы SU (2) равна 2/ —J— 1, то из этих теорем вытекает, что функции у'' 21 -[- 1 tlmn 00 образуют полную ортогональную нормированную систему функций относительно инвариантной меры du на этой группе. При этом индекс I пробегает всевозможные целые и полуцелые неотрицательные значения, а индексы тип пробегают значения — /, — / —{— 1, ... , / — 1, /.
Иными словами, функции tlmn (и) удовлетворяют соотношениям
Ц /‘тп («) tpq 00 dll = :2l ^ 'Jts • (1)
SU (2)