Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 75

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 241 >> Следующая


Применяя соотношения (1), (2) и (5), получаем

00 00 00

2 Pi (*) h‘ = (1 - hz) 2 ^ - 2 lh‘P‘ (*)• ^

/=0 /=1 /=1

Сравнивая коэффициенты при hl, получаем

= (9)

Складывая формулы (7) и (9), получаем

(2/ + 1) Р, (z) = L [Pj+J {Z) - P,_t (z)}. (10)

Исключая же Pt (z) из соотношений (7) и (9), находим

(2/+1)*^ = ^М) + (/+1)^Ь±Ф (И)

Отметим еще равенство (1 _ dPg) = t [р^ {z) _ zP[ (z)] = (/+ 1} {zPi {z) _ р^ {z)]> (12)

вытекающее из равенств (7) и (9), и уравнения Лежандра d

lil-2^d-4f\ + W+*)PiW=

(см. п. 5 § 4, формула (8)).
166 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III

§ 6. Разложение функций на группе SU(2)

В этом параграфе будут изучены разложения функций /(и) на группе SU(2) в ряды по матричным элементам tlmn(u). Как частный случай этих результатов, ‘ будут получены разложения функций и векторных полей на сфере трехмерного евклидова пространства.

1. Инвариантная мера. Так как группа SU(‘2) компактна, то на ней существует инвариантная мера du. Иными словами, существует такая мера du, что

$/(н) du = \/{щи) du = \/{иий) du = du (1)

для всех непрерывных функций /(и) и всех элементов г/0 из SU{2). Найдем выражение этой меры через параметры группы SU{2).

Рассмотрим сначала группу О, состоящую из невырожденных матриц / а р\

вида — —/• Ее элементы задаются любыми парами (а, ?3)

V— Р я/

комплексных чисел. При умножении справа элемента группы G на

а.. р0\

- - из St/(2) параметры а, р претерпевают ли-

• Ро «о/ нейное преобразование

ot'=a0a—рор, |

V = pop + аоР> j

определитель которого равен единице. Отсюда следует, что мера dg= da dad$ еф1) на группе G инвариантна относительно умножения справа на элементы из SU(2).

Введем вместо параметров а = а4-)~га2, рпараметры г, ср, 0, ф, связанные с а и р равенствами

i(<P + ф)

а = г cos -рг е

2

2

i(<t — ф> р = lr sin е 2

(3)

7 а р\

Из равенства (4) п. 1 § 1 следует, что при г= 1 матрица I - - I

V Р а/

принадлежит подгруппе SU{2), причем ср, 0, ф — углы Эйлера этой

матрицы. Простой подсчет показывает, что

da. da. d$ d$ = r3 sin Qdr dQ dy dty. (4)

1 При a = aj-)-ia8 мы полагаем dada =— 2ida1dai.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ SU (2)

167

Но элементы группы SU(2) характеризуются условием r= 1. Поэтому инвариантный интеграл на группе SU(2) задается в углах Эйлера формулой

2и 2и тс

^ /(н) ^ ^ ^ /(ср, 0, ф) sin б dfl dcp dtp (5)

St/(2) —2л О О

(множитель 1/1 бтг- выбран так, что мера всей группы SU(2) равна 1). Отметим, что в силу компактности группы SU(2) интеграл (5) инвариантен не только справа, но и слева:

^ /(г/) du — \f (ищ) da = \f (и0н) du = \f (ii x) du. (6)

Выражение

-js*n 0 dO d<? d<\i (7)

для инвариантной меры на группе SU(2) имеет простой геометрический смысл. Оно лишь множителем— отличается от произведения нормированной евклидовой меры ~ sin 0 rfO tfo на двумерной сфере и нормированной

471“

евклидовой меры J-йф на окружности.

Ztz

2. Соотношения ортогональности для функций Plmn(z). В этом пункте мы применим к группе SU(2) теоремы ортогональности и полноты системы матричных элементов попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представлений компактной группы (см. п. 3 § 4 главы I). Поскольку размерность представления Tt (и) группы SU (2) равна 2/ —J— 1, то из этих теорем вытекает, что функции у'' 21 -[- 1 tlmn 00 образуют полную ортогональную нормированную систему функций относительно инвариантной меры du на этой группе. При этом индекс I пробегает всевозможные целые и полуцелые неотрицательные значения, а индексы тип пробегают значения — /, — / —{— 1, ... , / — 1, /.

Иными словами, функции tlmn (и) удовлетворяют соотношениям

Ц /‘тп («) tpq 00 dll = :2l ^ 'Jts • (1)

SU (2)
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed