Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 76

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 241 >> Следующая


Подставим в формулу (1) выражение

t‘mn (?, 6, ф) = е-1 {т^Р1тп (cos 0) (2)

для матричных элементов, и вспомним, что инвариантная мера du на группе SU(2) задается формулой

du = —sin 6 dy dO йф. (3)
168 Группа унитарных Матриц второго порядка 1Гл. ill

Мы получим, что если / Ф s, или т ф р, или пф q, то

2к 2к «___________________

$ \ \Plmn(cosb)Pspq{cosb)s\nbei(P~m)fei(^n^dbd^d^ = 0. (4)

— 2it О О

В случаях, когда р ф гп или q фп, из соотношения (4) нельзя сделать каких-либо выводов о функциях Ртп, поскольку обращение в нуль имеет место за счет показательных функций. Пусть теперь р=т и q = n. Тогда из равенства (4) следует, что при 1фз

П _________

5 р'тп (cos 6) PSmn (COS 0) Sin 0 й?0 = 0. (5)

о

Аналогично, из равенства (1) следует, что

^ I PL (cos 0) |» sin 0 db = . (6)

Полагая в полученных равенствах cos0 = x, получаем соотноше-

ния ортогональности для функций Р1тп(х):

I ______

^ Ртп (-*0 Ртп (-*") dx - jj ^ls‘ (7)

Из выведенных формул вытекает следующий результат: при фикси-

рованных значениях I и п, l^n^O, последовательность функций

у Щг p‘in (х)’ Y ^1 w..................У2^t±1 p‘nk (*)- • • • с»)

ортогональна и нормирована на отрезке [—1, 1] относительно меры dx.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При я = 0 получаем, что последовательность функций

У ~^—Рю(х), ... , у ¦ - -2- Pi& (X), ... (9)

ортогональна и нормирована. Но

P‘i+k (х) = il YРТ (х), (10)

где Pi (at) — присоединенная функция Лежандра. Отсюда вытекает, что последовательность функций

/Е^1ВгГр!+‘(е)' *=0- ¦¦¦ (11)

ортогональна и нормирована на отрезке [—1, 1].
V

§ 6] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ Si/(2) 169

В частности, при /= 0 получаем, что последовательность многочленов Лежандра

™+lpk(x), А = 0, 1, ... (12)

ортогональна и нормирована на отрезке [— 1, 1].

В заключение рассмотрим вопрос об ортогональности многочленов Якоби Я*’Р)(лг). Как было показано в п. 9 § 4, эти многочлены связаны с функциями Р/тп(х) соотношением

Рк’Р) оо =

=^ <-¦ у wtw с —«гf (1+х) «. (is)

2 ; 2

где а, р, k—целые числа.

Но, как было показано выше, функции

1 / а —f— Р —f— 2Й —1— 1 2 .

I/ 2 р-—k—0, 1, ...

~2~’ 2

образуют ортонормированную систему на отрезке [—1, 1]- Отсюда

вытекает, что многочлены

о ;я 1 fk\(k -f- a -f- Р)! (a -f- fi -f- 2k -f- 1) г,(а,Р)/„\ fu)

J 1 V (* + a)!(ft + P)l Pk (X)’ ( ’

k = Q, 1, 2, ...

образуют ортонормированную систему на отрезке [— 1, 1] относи-

тельно веса (1—х)а (1 -j- ХТ *)•

Применим полученные результаты для вычисления в конечном виде одной суммы, содержащей присоединенные функции Лежандра. Из ортогональности многочленов Лежандра и формулы (6) п. 3 § 4

вытекает, что ^-i-i-P*(cos Qi)Prk(cos 02) является коэффициентом

при разложении функции

/(0; % %) =

1 Т /cos flt cos Qg — cosfl\ v

я * \ sin 0, sin 02 J X

X {[cos 0 — cos (0j —)— Q3)] [cos (0j — 02) — cos 0]} 2,

если j 0j — 9<J ) sg 0 sg 01 -j- 02» О, если 0 — точка отрезка [0, тс], не принадлежащая отрезку [1 ©I — 0а !> 01Н- 0з]-

*) Система функций /,(*), ... , fn(x), ... называется ортонормированной относительно веса р (х) на отрезке [а, Ь], если ь ___________________________________

[ fm (X) fn (X) Р (х) dx — Ьтп.
170 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. ш

по многочленам Лежандра Pt (cos 0). Отсюда вытекает, что

ОО

2 ^-^P*(cos01)Pr*(cos0.2)Pi(cos0)=/(0; 0j, 02). (15)

о

В частности,

СО

2 21^ 1 Л (C0S 6l) pi (cos Pl (cos °) =

1 = 0

_ ?

|[cos 0 — COS (0J -f- 0-2)] [cos (0J — 02) — COS 0]j 2 ,

= ¦ если j 0t — 0,21 sg 0 ss; 0j -f- 0,2,

0, если 6 — точка на [0, тс], ке принадлежащая отрезку

[| ®i — 1. Si 4~

3. Разложения в ряды по функциям Р1та(х)- Пусть /(и)— любая функция на группе SU(2), для которой сходится интеграл \\f (u)fdu. Мы доказали выше, что функции j/ 2/ -f- 1 tmn (и) образуют полную ортонормированную систему относительно инвариантной меры du. Отсюда следует, что функцию f(ii) можно разложить
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed