Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Подставим в формулу (1) выражение
t‘mn (?, 6, ф) = е-1 {т^Р1тп (cos 0) (2)
для матричных элементов, и вспомним, что инвариантная мера du на группе SU(2) задается формулой
du = —sin 6 dy dO йф. (3)
168 Группа унитарных Матриц второго порядка 1Гл. ill
Мы получим, что если / Ф s, или т ф р, или пф q, то
2к 2к «___________________
$ \ \Plmn(cosb)Pspq{cosb)s\nbei(P~m)fei(^n^dbd^d^ = 0. (4)
— 2it О О
В случаях, когда р ф гп или q фп, из соотношения (4) нельзя сделать каких-либо выводов о функциях Ртп, поскольку обращение в нуль имеет место за счет показательных функций. Пусть теперь р=т и q = n. Тогда из равенства (4) следует, что при 1фз
П _________
5 р'тп (cos 6) PSmn (COS 0) Sin 0 й?0 = 0. (5)
о
Аналогично, из равенства (1) следует, что
^ I PL (cos 0) |» sin 0 db = . (6)
Полагая в полученных равенствах cos0 = x, получаем соотноше-
ния ортогональности для функций Р1тп(х):
I ______
^ Ртп (-*0 Ртп (-*") dx - jj ^ls‘ (7)
Из выведенных формул вытекает следующий результат: при фикси-
рованных значениях I и п, l^n^O, последовательность функций
у Щг p‘in (х)’ Y ^1 w..................У2^t±1 p‘nk (*)- • • • с»)
ортогональна и нормирована на отрезке [—1, 1] относительно меры dx.
Рассмотрим некоторые частные случаи. При я = 0 получаем, что последовательность функций
У ~^—Рю(х), ... , у ¦ - -2- Pi& (X), ... (9)
ортогональна и нормирована. Но
P‘i+k (х) = il YРТ (х), (10)
где Pi (at) — присоединенная функция Лежандра. Отсюда вытекает, что последовательность функций
/Е^1ВгГр!+‘(е)' *=0- ¦¦¦ (11)
ортогональна и нормирована на отрезке [—1, 1].
V
§ 6] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ Si/(2) 169
В частности, при /= 0 получаем, что последовательность многочленов Лежандра
™+lpk(x), А = 0, 1, ... (12)
ортогональна и нормирована на отрезке [— 1, 1].
В заключение рассмотрим вопрос об ортогональности многочленов Якоби Я*’Р)(лг). Как было показано в п. 9 § 4, эти многочлены связаны с функциями Р/тп(х) соотношением
Рк’Р) оо =
=^ <-¦ у wtw с —«гf (1+х) «. (is)
2 ; 2
где а, р, k—целые числа.
Но, как было показано выше, функции
1 / а —f— Р —f— 2Й —1— 1 2 .
I/ 2 р-—k—0, 1, ...
~2~’ 2
образуют ортонормированную систему на отрезке [—1, 1]- Отсюда
вытекает, что многочлены
о ;я 1 fk\(k -f- a -f- Р)! (a -f- fi -f- 2k -f- 1) г,(а,Р)/„\ fu)
J 1 V (* + a)!(ft + P)l Pk (X)’ ( ’
k = Q, 1, 2, ...
образуют ортонормированную систему на отрезке [— 1, 1] относи-
тельно веса (1—х)а (1 -j- ХТ *)•
Применим полученные результаты для вычисления в конечном виде одной суммы, содержащей присоединенные функции Лежандра. Из ортогональности многочленов Лежандра и формулы (6) п. 3 § 4
вытекает, что ^-i-i-P*(cos Qi)Prk(cos 02) является коэффициентом
при разложении функции
/(0; % %) =
1 Т /cos flt cos Qg — cosfl\ v
я * \ sin 0, sin 02 J X
X {[cos 0 — cos (0j —)— Q3)] [cos (0j — 02) — cos 0]} 2,
если j 0j — 9<J ) sg 0 sg 01 -j- 02» О, если 0 — точка отрезка [0, тс], не принадлежащая отрезку [1 ©I — 0а !> 01Н- 0з]-
*) Система функций /,(*), ... , fn(x), ... называется ортонормированной относительно веса р (х) на отрезке [а, Ь], если ь ___________________________________
[ fm (X) fn (X) Р (х) dx — Ьтп.
170 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. ш
по многочленам Лежандра Pt (cos 0). Отсюда вытекает, что
ОО
2 ^-^P*(cos01)Pr*(cos0.2)Pi(cos0)=/(0; 0j, 02). (15)
о
В частности,
СО
2 21^ 1 Л (C0S 6l) pi (cos Pl (cos °) =
1 = 0
_ ?
|[cos 0 — COS (0J -f- 0-2)] [cos (0J — 02) — COS 0]j 2 ,
= ¦ если j 0t — 0,21 sg 0 ss; 0j -f- 0,2,
0, если 6 — точка на [0, тс], ке принадлежащая отрезку
[| ®i — 1. Si 4~
3. Разложения в ряды по функциям Р1та(х)- Пусть /(и)— любая функция на группе SU(2), для которой сходится интеграл \\f (u)fdu. Мы доказали выше, что функции j/ 2/ -f- 1 tmn (и) образуют полную ортонормированную систему относительно инвариантной меры du. Отсюда следует, что функцию f(ii) можно разложить