Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
-У)1 (Л + У)! (4 ~ А)! (4 + А)1 (/ - У - А)! (/ + 4 ~ 4)1 (/ - Л + 4)'-1
(13)
Из этого выражения видно, что при выбранной нами нормировке все коэффициенты Клебша — Гордана вещественны.
Другое выражение для С(4, 4> /; у, k, j-\-k) можно получить, заметив, что Pl1+k il_ti{x) = Pll h }.+k (лг), и подставив в формулу (6) соответствующее выражение. В результате получаем
/_ 1Y- l+ll+k
С (Л, 4> /; у, к, у -|- k) = —^;_|_г1_|_гг_|_[ X
v 1 Г (2/ + 1) (/ + 4 - 4)1 (Л + 12 - /)! (4 + 4 + I + 1)!
АК (/1-УЛ(/1+У)!(/,-А)1(/, + А)1(/ + У+А)!(/-У А)! (/ 4 + 4)! Л
X \ (1 — x)h- + k(\ -f лг)^ -*¦ l__l и [(1 — x)l-i-'l(\ -\-х)1+}+к\ dx-«Л их 1 “
— 1
(13')
Из полученных выражений для коэффициентов Клебша — Гордана легко вывести выражение этих коэффициентов в виде сумм. Для этого достаточно применить к подынтегральной функции формулу Лейбница и почленно проинтегрировать полученное выражение. В результате преобразований получим
С(/„ 4, /; у, k, у + А) = (- i)-*+ii+*x
v Л / (21 + 1) (/ + У + А)! (4 + 4 - /)1 (/—У — А)! (1-1, + 4)1 (/ + 4 ~ /,)1 v А I7 (/1+/, + /+1)1(Л-У)1(/1+У)!(/.-А)!(/а + А)! А
v V _____________(— 1)*(/ + —У — Д)! (Л +У+Д)1_________ П4ч
А Zj s! (/ — у —А — s)! (/ — /± + /2 —s)!(/i —4+y + A+s)!’ ^
s — М
где УИ = тах(0, 4 — 4—У — ?), yV=max(/— у — k, I—4 + 4)-Другое представление C(l, j) в виде суммы получается, если проинтегрировать в формуле (13) I — у — к раз по частям и принять во внимание, что все проинтегрированные члены обращаются в нуль.
188 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ill
Применяя формулу Лейбница и почленно интегрируя, находим
С (4, 4, 4 У\ k,j-\-k) = (—i)ii—; Х
X V
(21 + 1) (/ + j + ft)! (/ - / - ft)! (h - j) 1 (/,~ k)\ (I, + h ~ Щ v (4 + У)! (4 + А)! (l + h~ 4)! (/ - Л + 4)! (4 + /, + /+ !)!
v У (~1)5(л+; + 8)! (/ + /,-y-s)i
A L s\ (I — j — k — s)! (/, — j ¦— s)! (/2 —: / + /-(- s)! ’ ^ >
s = Mi
где = max(0, I—4—y), iV=min(/—у—ft, 4—j).
Еще одно представление С (1, j) в виде суммы получается, если положить в формуле (6) / = 11; ft'= 4, подставить разложение Plf+k, i1~i2(z) по(1)п. 4 § 3 и выполнить почленное интегрирование:
С (4, 4, /; у, А, y-|-ft) =
У1
(2/ + 1) (Л + j)\ (I - j - ft)l (/ - Л + /,)! (/д + /2 - /)! (/д + /2 + / + 1 )1
(Л - У)! (4 + ft)! (4 - ft)! (/ + У + ft)! (I + 4 - 4)! A
V \ (-I);i + ft —s(/ + s)!(/2 + s-y)l
A L (I — s)! (s —j— ft)! (s — + /2)! (/j + /. + s + 1)!' '
s = max (;+*, li—h)
Если /,— /2 — целое число, то суммирование в этой формуле ведется по целым значениям s, а если /х — 4 — полуцелое число, то суммирование ведется по полуцелым значениям s.
4. Соотношения симметрии. Как и функции Р1тп (лг), коэффициенты Клебша—Гордана обладают рядом соотношений симметрии. Покажем сначала, что
С (4, 4, k J, У “Ь ft) =
== ( I)1 ~ li — h С (/1; 4 /; -у, -ft, -у-ft). (1)
Для этого достаточно заменить в формуле (13') п. 3 у на —у и ft на —ft, сделать подстановку лг=—у и принять во внимание, что ft 4 — целое число.
Аналогично доказывается, что
С (4> 4, 4 у, ft> y + ft) = (— 1У С (4> 4> 4 ft> у> У ~т^)- (2)
Для этого надо воспользоваться формулой (13) п. 3, поменять в ней местами (4, У) и (4, ft) и сделать замену переменной х= — у.
Чтобы получить следующее соотношение симметрии, сделаем в формуле (13) п. 3 замену параметров:
/___4 4 ~ЬУ ft' / ___4 + 4—У' — ft'
§8] КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША - ГОРДАНА 189
Сравнивая результат с формулой (13') п. 3, получим ^(h+h + J+k h+h-J-k h-h+J-Ь li-is-j+k , .'v
2 ’ 2 ’ ’ ----2 ’ -----2----’ =
= C(h, l2, li j, к, j+k). (4)
Далее, проинтегрируем в формуле (13) п. 3 I—у—k раз по частям и сделаем подстановку
, . f+ /;-*' ,_/- + /; + к
*1-— 2 > — 2 > ^ 2>
J=Jx=l±lL+I, * = 1 <5>
Сравнивая результат с формулой (13') п. 3, получим следующее соотношение симметрии:
С(-Шр*, i±?+*, * + <,-<)-
j/i“L±±c(*i, г2, л, j. к,j+k). (6)
21 + 1
Комбинируя соотношения (4) и (6), получаем С{1Ь /»/; /, А,у+А)=(-1)'* С(/1; 1,4; у, —У—А, —к). (7)
Далее, комбинируя равенство (7) с соотношениями (1) и (2), получаем
