Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 77

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 241 >> Следующая


в ряд Фурье по функциям tlmn (и), причем этот ряд сходится в среднем.

Ряд Фурье функции f(u) имеет вид

i i

л«)=Ц 2 2 «»».&.(«). 0)

I т--= — 1 п — — 1

где 1 = 0, —, 1, ... и коэффициенты Фурье <х1тп задаются формулами

а‘тп = (2/ 4- 1) 5/(») tlmn (») dll. (2)

Перейдем к параметрам Эйлера. Пользуясь соотношениями (2) и (3) из п. 2, получаем следующий результат:

Любая функция /(ср, 0, ф), 0 ср 2u, Osg0<^ir, —2тг<^ф<^2тг, принадлежащая пространству т. е. такая, что

2п 2п п

\ $$!/(?, 0. ф) I2 sin 0 dQ d<? °°> (3)

— 2* 0 0

разлагается в сходящийся в среднем ряд

i i

/(ср, 0. <Ь) = 2 2 2 «тле-г(Я<Р+Лф)ЯтЛсOS0), (4)

т = —1п ——1
§6] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ $U (2) 171

где *)

16п2

2 я 2п г.

X

Х 5 S (cos 0)sin QdBd'pd’b. (5)

-2п О О

Из равенства Парсеваля вытекает, что при этом

II 2i 2л 1

2 2 2 ,а™1’2=^ТбУ § § J |/(?, 0, ф)|* s!n0d0d<pd<|i. (6)

I m = — ln=—l —2л О О

4. Некоторые подпространства функций. Обозначим через ?;} подпространство в ?3, состоящее из таких функций f (и), что для всех диагональных матриц

/ Ч ¦ \

I е2 0 \

h=i _и) О)

'vO е 2/

из SU(2) выполняется равенство

f(iih) = e~intf(ii). (2)

Если углы Эйлера матрицы g равны ср, 0, ф, то g(<p, 0, ф) =

/ N

! е2 0 \

= g(b 0. 0)^(0, О, Ф), где §-(0, 0, ф)=; —диагональная

Vo e~2i

матрица. Поэтому для функций /(g) из ?jj имеем

f(g)=f(b 0, Ф) = ^;л+/(т,0, 0). (3)

Обратно, если функция f(g) на группе SU(2) имеет вид (3), она принадлежит

В частности, подпространству принадлежат все матричные

элементы tlmn (g) при заданном п:

Ln fe) = е-^е ^Р1тп (cos 0), (4)

l=\n\, 1 Я 1 —J— 1, ... , \n\~\- k, ... , -/ ==? ОТ /.

‘) Напомним, что Plmrl (cos 0) = (—1)т_лР^л (cos 0).
172 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА (Гл, ill

Покажем, что эти функции образуют ортогональный базис пространства Иными словами, будет показано, что любая функция /(и) из подпространства разлагается в ряд Фурье вида

СО I СО I

/00=2 2 Wmn оо=*-"•* 2 2 ^-^„(cose), (5)

l = \n I т = — I i~\n\m = — l

ZK те

^ ^/(cp, 0, 0) e,m,fPlmn (cos 6) sin 0 dO rfcp. (6)

где коэффициенты Фурье задаются формулами

2тг К

___( 1)т~л (21 -)- 1)

т 4п

0 0

Для доказательства достаточно показать, что при k ф п имеем

5/(н) ^oodH=o.

(ё* 0

Сделаем в этом интеграле подстановку u = vh, где h = l . ,.

\0 е",

В силу инвариантности меры du получим

?lm = \f(vh) t‘mk(vh)dv.

Но в силу принадлежности /(и) подпространству 2%

f(vh) = e~iatf(v),

а в силу формулы (4)

t‘mk (vh) = е Ш11тк (v).

Поэтому

a l =еНк-п)(л1 .

m m

Так как при кфп то отсюда и следует равенство

а1 =0. Тем самым наше утверждение доказано.

В частности, функции f (и) на группе SU(2), не зависящие от

(Л о \

угла Эйлера ф (т, е. такие, что f (uh)=f (и) при h = l ,

\0 е”/

разлагаются в ряды вида

ОО /

/00 = 2 2 (7)

/=0 т— — 1

где

2 тс тс

ат = (~lr4f+1) ^ j /(СР> 6> 0) еШ?Р1т0 (C0S 81'П 6 dd W
I 6) Разложение функций на группе su (4) 173

Принимая во внимание равенство (9) из п. 9 § 3, получаем, что такие функции разлагаются в ряд вида
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed