Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 98

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 241 >> Следующая


<?(r)=^(R)Jn(Rr)RdR. (4)

о

Нетрудно показать, используя формулу Планшереля для преобразования Фурье, что функции ср (г) и Ф(/?) связаны равенством

СО СО

\\<?(r)\irdr= ^t^W^RdR. (5)

о о

Его называют аналогом формулы Планшереля для преобразования Фурье — Бесселя.

Равенство (5) показывает, что преобразование Фурье— Бесселя является изометрическим отображением функций из пространства ?л на функции пространства 2%, т. е. на функции вида е"1'*' Ф (R), где

СО

$|ф (R) |*Я rfr< + oo-

о

3. Разложение квазирегулярного представления. Мы получили

Э п. 1 разложение квазирегулярного представления группы М(2) на'
§5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ 223

неприводимые. Однако это разложение было слишком сложным, так как мы дважды использовали преобразование Фурье. Найдем непосредственное разложение квазирегулярного представления.

Пространство 82 является ортогональной прямой суммой подпространств

СО

е2= 2

п~ — со

В самом деле, любую функцию /(г cos a, rsina) из можно записать в виде ряда Фурье по а:

СО

/(г cos а, г sin а) = ^ t?n(r)eina, 0)

п = — СО

где



ср„ (г) = ^ ^ / (г cos a, г sin а) e~inadz. (2)

о

Применим к слагаемым разложения (1) формулу (4) п. 2 — преобразование Фурье—Бесселя. Мы получим

СО СО

/(г cos а, г sin а) = ^ ein* ^ Фп(Д) Jn(R.r)RdR, (3)

л = — со О

где в силу формул (3) п. 2 и (2)

СО

фп(Ю= \ ?п (р) Л (Яр) Р <*Р =

О

•со 2я

jj /(р cos 9, р sin9) e~t,aJn (Яр) р d9 dp. (4)

о о

Подставим в формулу (3) выражение (4) для Ф„ (Я) и изменим порядок суммирования и интегрирования. Принимая во внимание теорему сложения для функций Бесселя У0 (Я) (см. формулу (4) п. 1 § 4), получаем

СО

/ (г cos а, г sin а) = ^ Я d/? X

о



X ^/(pcosO, р sin 9) Jq (R ]/ r'2-j“P2'—2rp cos (a — 9) )pdftdp. (5)

о

Полученное равенство можно переписать в виде

со

f(x) = \fR(x)RdR, (6)
224 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV

где

f% (г cos а, г sin а) =



= 2^ jj/(p coss 9, psin9)y0 (#]/V + pa — 2rpcos(a — 9))pd9dp. (7)

о

Нетрудно показать, что пространство S^r Функций fR(x), выражаемых формулой (7), инвариантно относительно сдвигов плоскости. Эти сдвиги задают представление LR(g) группы /И (2):

fe)/* (*)=/* (Г1*)- 48)

При этом

[L (g)f (*)]* = LR(g)fR(х) =fR(g~lx). (9)

Поэтому равенство (6) определяет разложение квазирегулярного пред-

ставления в непрерывную прямую сумму неприводимых унитарных представлений LR(g):

СО

L(g) = \LR(g)RdR. (10)

о

Это разложение дает явную форму для преобразования Фурье разложения (12) п. 1.

Приведем пример использования преобразования Фурье—Бесселя. Применим формулы (3) и (4) п. 2 к равенству (3) п. 2 § 4, записав его в виде

?i(nV -W2)Jn{Rr)rdr

_ У~ 4rfr| — (г2 — rf — r|)2

I ri — r2 I

где

ra = r\ -j- r\ 2rira cos cp2 (11)

.

r

В силу формул (3) и (4) п. 2 отсюда следует:

00

$ Л-m (ЯгО Jm (Яга) Jn (Rr) RdR =

о

2 e4nf—mf2)

л — (г2 — rf — г|)2" ’

если 1 Г! — ra|<r<ri + ra, О в противном случае.

Здесь сра и ср связаны с rt, га, г формулами (11).

(11')

(12)
§ 5]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ

225

4. Инфинитезимальные операторы. Вычислим теперь инфинитезимальные операторы квазирегулярного представления L (g) группы М (2). Начнем с вычисления инфинитезимального оператора, соответствующего однопараметрической подгруппе йь состоящей из элементов вида
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed