Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
<?(r)=^(R)Jn(Rr)RdR. (4)
о
Нетрудно показать, используя формулу Планшереля для преобразования Фурье, что функции ср (г) и Ф(/?) связаны равенством
СО СО
\\<?(r)\irdr= ^t^W^RdR. (5)
о о
Его называют аналогом формулы Планшереля для преобразования Фурье — Бесселя.
Равенство (5) показывает, что преобразование Фурье— Бесселя является изометрическим отображением функций из пространства ?л на функции пространства 2%, т. е. на функции вида е"1'*' Ф (R), где
СО
$|ф (R) |*Я rfr< + oo-
о
3. Разложение квазирегулярного представления. Мы получили
Э п. 1 разложение квазирегулярного представления группы М(2) на'
§5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ 223
неприводимые. Однако это разложение было слишком сложным, так как мы дважды использовали преобразование Фурье. Найдем непосредственное разложение квазирегулярного представления.
Пространство 82 является ортогональной прямой суммой подпространств
СО
е2= 2
п~ — со
В самом деле, любую функцию /(г cos a, rsina) из можно записать в виде ряда Фурье по а:
СО
/(г cos а, г sin а) = ^ t?n(r)eina, 0)
п = — СО
где
2я
ср„ (г) = ^ ^ / (г cos a, г sin а) e~inadz. (2)
о
Применим к слагаемым разложения (1) формулу (4) п. 2 — преобразование Фурье—Бесселя. Мы получим
СО СО
/(г cos а, г sin а) = ^ ein* ^ Фп(Д) Jn(R.r)RdR, (3)
л = — со О
где в силу формул (3) п. 2 и (2)
СО
фп(Ю= \ ?п (р) Л (Яр) Р <*Р =
О
•со 2я
jj /(р cos 9, р sin9) e~t,aJn (Яр) р d9 dp. (4)
о о
Подставим в формулу (3) выражение (4) для Ф„ (Я) и изменим порядок суммирования и интегрирования. Принимая во внимание теорему сложения для функций Бесселя У0 (Я) (см. формулу (4) п. 1 § 4), получаем
СО
/ (г cos а, г sin а) = ^ Я d/? X
о
2я
X ^/(pcosO, р sin 9) Jq (R ]/ r'2-j“P2'—2rp cos (a — 9) )pdftdp. (5)
о
Полученное равенство можно переписать в виде
со
f(x) = \fR(x)RdR, (6)
224 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
где
f% (г cos а, г sin а) =
2л
= 2^ jj/(p coss 9, psin9)y0 (#]/V + pa — 2rpcos(a — 9))pd9dp. (7)
о
Нетрудно показать, что пространство S^r Функций fR(x), выражаемых формулой (7), инвариантно относительно сдвигов плоскости. Эти сдвиги задают представление LR(g) группы /И (2):
fe)/* (*)=/* (Г1*)- 48)
При этом
[L (g)f (*)]* = LR(g)fR(х) =fR(g~lx). (9)
Поэтому равенство (6) определяет разложение квазирегулярного пред-
ставления в непрерывную прямую сумму неприводимых унитарных представлений LR(g):
СО
L(g) = \LR(g)RdR. (10)
о
Это разложение дает явную форму для преобразования Фурье разложения (12) п. 1.
Приведем пример использования преобразования Фурье—Бесселя. Применим формулы (3) и (4) п. 2 к равенству (3) п. 2 § 4, записав его в виде
?i(nV -W2)Jn{Rr)rdr
_ У~ 4rfr| — (г2 — rf — r|)2
I ri — r2 I
где
ra = r\ -j- r\ 2rira cos cp2 (11)
.
r
В силу формул (3) и (4) п. 2 отсюда следует:
00
$ Л-m (ЯгО Jm (Яга) Jn (Rr) RdR =
о
2 e4nf—mf2)
л — (г2 — rf — г|)2" ’
если 1 Г! — ra|<r<ri + ra, О в противном случае.
Здесь сра и ср связаны с rt, га, г формулами (11).
(11')
(12)
§ 5]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
225
4. Инфинитезимальные операторы. Вычислим теперь инфинитезимальные операторы квазирегулярного представления L (g) группы М (2). Начнем с вычисления инфинитезимального оператора, соответствующего однопараметрической подгруппе йь состоящей из элементов вида