Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
[аь аа] = О,
[®8> аз] = а1>
[аа, а!] = са,
определяющие алгебру Ли группы М (2).
2. Функции Бесселя и многочлены Якоби. Связь между группами 50(3) и М (2), установленная в предыдущем пункте, делает
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ Р*тп{х)
233
естественным наличие связи между матричными элементами неприводимых унитарных представлений этих групп. Таким образом, функции Бесселя — матричные элементы представлений Tip(g) группы М(2), должны возникать путем предельного перехода из функций Р1 (cos 0)— матричных элементов представлений Tt(g) группы 50(3). Оказывается, при этом предельном переходе не только R, но и ’ / должно стремиться к бесконечности.
Чтобы получить соответствующие формулы, заметим, что функции Р1 (cos 0) определяются с помощью интегрального представления
П* сСОо 0-) — 1 1 Л'-«)!(' +«К,
Ртп (COS V)— ^ у (/_я)|(/ + я)! X 2тс
X J( cos ~ e'f/2 -|-1 sin y e~ 'f/2 j * X
X (l sin Yeir/2 “1“ cos e‘m<p
Положим здесь 0=-^- и перейдем к пределу при /—>- со. Мы получим
lim Р‘ (cos 4-') =
I - со тп \ 11
2л
дч J (' T'(‘
|2я
Но в силу интегрального представления функций Бесселя (см. формулу (8) п. 1 § 3) полученное равенство можно переписать следующим образом:
lim р‘тп (cos т)= im nj^n (г). (1)
I —> СО '
Отметим частный случай выведенной формулы. При т — п=0 имеем
lim Pt (cos ~) =J0(r).
I -+ СО ' * I
Таким образом, J0(r) получается путем предельного перехода из многочленов Лежандра.
Заметим еще, что оператор Лапласа на группе М (2) получается из оператора Лапласа на группе SU(2) путем аналогичного предельного перехода. Мы опускаем детали этой выкладки.
234
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. IV
3. Асимптотическая формула для коэффициентов Клебша — Гордана. Установленная связь между функциями Pmn(z) и функциями Бесселя позволяет установить асимптотическую формулу для коэффициентов Клебша—Гордана в случае больших значений 1Ъ 1Ъ I. Воспользуемся для этого формулой (6) п. 3 § 8 главы III. Полагая в этой формуле f=j, k' = k и учитывая, что коэффициенты Клебша—Гордана действительны, получаем при натуральном N
[С(Mi, М* М; j; A; j + k)f =
= 2Nl + X- J Рп1 (х) p№ (X) pf^~^(x) dx.
Сделаем подстановку х — у
В силу формул (1) п. 2 и (12) п. 3 § 5 мы получим lim N[C(N/b Ms, TV/; j, k, j -f /г)]2 =
N—> CO
— 1
cos ~ и перейдем к пределу при TV—>- со.
1 ^ Л (уЛ) Л (у4) Л (у0.у 4у =
2/
Tt / 4/J/1 — (/2 — — ф- ’
если 11^ | I1у —|— /^,
О в противном случае.
Полученное выражение не зависит от j и k. Ясно, что знак C(Nlb TV/2, TV/; j, k, j-k) совпадает при больших значениях TV со знаком C(TV/b TV/S, TV/; 0, 0, 0), т. е. со знаком (—где l-\- ll-\-li=2g. Отсюда вытекает, что
С(М„ М„ N1; j, k, j + k)~
(— iyv {g-i) Г------- 21 -]1/2
L TtNV 4/?/s — (I2 — /? — /I)2 J ’
Tt NY 4/j/S — (Г2 — l\ -если | Л — /21</<A -(-k,
0 в противном случае.
(1)
ГЛАВА V
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
В предыдущей главе было показано, что многие сеойствэ функций Бесселя с целым индексом связаны с представлениями группы движений евклидовой плоскости. Чтобы перейти к функциям Бесселя с произвольным индексом, нам придется заменить евклидову плоскость псевдоевклидовой, для которой подгруппа вращений ке является компактной. Покажем, что представления группы движений псевдоевклидовой плоскости задаются интегральными операторами, ядра которых выражаются через функции Ганкеля и Макдональда, тесно связанные с функциями Бесселя с произвольным индексом. Отсюда будет выведен ряд свойств этих функций. В начале главы будут рассмотрены представления группы линейных преобразований прямой линии — одномерного аналога группы движений псевдоевклидовой плоскости.
§ 1. Представления группы линейных преобразований прямой линии и Г-функция
1. Группа линейных преобразований прямой линии. Изучим представления группы G линейных преобразований прямой линии, сохраняющих ориентацию, т. е. преобразований вида у = ах-\- Ь, где а^>0. Каждый элемент g группы G определяется двумя-вещественными числами, а^>0 и Ь. Элементы группы G будем обозначать через g(a, b).
