Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/(х, ср)= ^ /ЛхКЧ (3)
п = — СО
Из этого разложения следует, что является прямой ортогональной суммой пространств $я, состоящих из функций вида /я (х) е"1’1’, где
11/п||= $|/п (x)|2dx<4-oo. (4)
При этом
2тс
fn (х) = 2^ \ /(*> ?) dv- (5)
о
Покажем, что подпространства инвариантны относительно операторов T(g). В самом деле, оператор T(g9), ga = g(b, а) переводит
Функцию/(х, ср) в /[(х — b)_., ср — а] (см. формулу (3) п. 2 § 1).
8*
228 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
Ее коэффициенты Фурье имеют вид
2л
fin0) « =Щ'Г [(Х “ Ь)-’ * - а] d? =
О
2п
=Яг К/1[(х -b)-’tp] =e~inaf" [(х - ь)-]-
о
Следовательно, оператор Т (g0) переводит в себя и задает в представление
тп ы fn (х) = [(х - Ь)_„]. (6)
Таким образом, имеем
СО
•§ = 2 ?»• (?)
п — —со
причем
со
T(g)= S Tn(g). (8)
п ~— со
Покажем, что представление Тп(g) эквивалентно квазирегулярному
представлению. Если сделать преобразование Фурье функции /л (х), то представление Тп (go) перейдет в
tn(g»)Fn(y) = e~tn* e‘^y]Fn(y_J.
Определим оператор Q формулой
ф (у) = QFn (У) = e‘nvFn (у), где со — полярный угол точки у. Простой подсчет показывает, что QL (go) Q 1 Ф (у) = L (g0) Ф (у), где L(g) — образ квазирегулярного представления при преобразовании Фурье. Тем самым доказана эквивалентность представления Ln(g) квазирегулярному представлению.
Итак, равенство (8) дает разложение регулярного представления группы М(2) на представления Tn(g), эквивалентные квазирегулярному представлению той же группы. Поскольку мы уже умеем разлагать квазирегулярное представление на неприводимые, задача о разложении регулярного представления решена.
§ 6. Произведение представлений
1. Кронекеровское произведение представлений T#(g). Пусть
(1)
Т'и.СЙ/») —«"'¦'“№“fl/( t-o) (2)
§ 6] ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 229
— неприводимые унитарные представления группы М (2). Построим кронекеровское произведение Т (g) этих представлений. Согласно Добавлению к главе I, такое произведение строится в пространстве ф функций двух переменных / (<|»i, ф2), 0 2тс, 0<; фа 2тс, таких,
что
2л 2л
ll/IP = i J J \/(% +оо-
о о
Представление T(g) задается формулой
Т (g)f (фь ф2) = е^№соз(ф1-,) + /?:!соз(ф2--,),/(ф1_а; ф2_а)_ (3)
Разложим это представление в непрерывную прямую сумму неприводимых представлений. Заметим сначала, что формулу (3) можно переписать в виде
7W0N. ф2) = ^С05(ф1^+р7(Ф,-^-4 (3')
где
R*=Rl+Rl + 2RiR* со5(ф.2-ф,) (4)
и
С1Р== _ (Я
Здесь как R, так и р зависят от Rb R% и <jj2 — <pj.
Разложим теперь гильбертово пространство ^ в непрерывную прямую сумму гильбертовых пространств, инвариантных относительно операторов T(g). Для этого рассмотрим в ^ подпространство ©, состоящее из бесконечно дифференцируемых функций /(фь ф2). Каждой функции /(^ ф2) из © и -каждому числу jx, 0^[х<^2тс поставим в соответствие функцию
U (ф) =/(Ф> Ф + (J-) (5)
и обозначим множество всех функций (ф), соответствующих при фиксированном ;х функциям из ©, через © .
Пространства ©^ являются предгильбертовыми пространствами относительно нормы
Зя
230 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ |1 Л. IV
Для любой функции /(фь ф*) из ^ имеем
2тс 2тс
о о
2п 2%
— 4^s ^ J 1/№ Ф + К-) Г2 # =
О о
2тс 2т: 2к
=4-5
0 0 о
Поэтому пространство ф является непрерывной прямой суммой пространств .jp — пополнений (3^:
2х
(6)
