Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Из формул (12) п. 3 и (2) п. 4 вытекает, что оператор bxRx(t, 1) является интегральным оператором с ядром
"(я> м + 1)(-ц)™ '• О)
С другой стороны, из равенства
__dR\ (s t, 1)
s = 0 ds
вытекает, что ядро этого оператора равно
dK{w, г; t + s, 1) ds
X(w — г) Г (w — г)
2тс1
(— \tyw\ (2)
Сравнивая формулы (1) и (2), получаем
Г (w — г -(- 1) .= (w — z) Г (w — z).
§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 243
Заменяя в этом равенстве w — г на г и учитывая, что Re (w — ,г)^>0, получаем следующий результат:
В полуплоскости Не.г^> О функция Г (г) удовлетворяет функциональному уравнению
Г(г + 1) = гГ(г). (3)
Так как
ОО
г (1) = $ <?-'<#=1,
о
то из равенства (3) вытекает, что при целых значениях п имеем.
Г (я -(- 1) = п (п—1)... 1 =п\.
Иными словами, Г —(— 1) является обобщением факториала на нецелые значения г. Ясно, что, полагая
Г(г)=Г(?±_1).1 (4)
мы получаем аналитическое продолжение функции Г (г) в полуплоскость Re^^>—1 (из которой исключена точка 2 = 0). Точно так же равенство
¦р/,ч__ Г (г + п + 1) /кч
Г(г>-7Т*+!)...(*+^0 (5)
задает аналитическое продолжение функции Г (г) в полуплоскость Re(z)^>—п—1 с исключенными точками z — 0, —1, ... , —п.
Покажем, что в точке г = — п функция Г (г) имеет простой полюс с вычетом
Выч Г(г)=Ц-^_. (6)
Z ~ — П
В самом деле, по формуле (5) i:„ г _ I __ i:m Г(г4-П+1) __ (—1)"Г(1)
* " + ")Г (2) - 1:m „ 7(* +ТГ. • (* +1=ту “ й • (7)
Но Г(1)=1 и потому
Выч Г(г)= lim (г 4- я)Г(г)=Цр-.
z = — п г -* -- п
Укажем другой способ аналитического продолжения функции Г (г). Разобьем интеграл (1) п. 4 на интегралы по отрезкам [0, 1] и [1, оо):
1 ОО
Г (г) — J e~xxz~Adx -(- ^ e~xx~~xdx.
244 ФУЙкЦЙИ ^АНКЁЛЯ й МАКДОНАЛЬДА [t-л. V
Отсюда получаем
Г (г) = ^ е-^-Чх + J ^ [е~* - J Ц^] dx +
*1 0 ft = О
п 1 оо
^ ^р~ ^ хШ ldx = ^ е Xxf ldx -(-
* = о о 1
+ jV,[^_2^rh+2-&- <8>
о * = о * = о
Очевидно, что интегралы в правой части равенства (8) сходятся при Re^^> — п—1 и потому формула (8) задает аналитическое продолжение Г (г) в полуплоскость Re2^> — п—1. Аналитическое продолжение Г (г) на всю плоскость задается формулой
00 00
г(9)
1 * = о
Итак, мы доказали, что Г (г) — аналитическая функция во всей комплексной плоскости, за исключением точек z = 0, —1, ... ..., —п, ... , где она имеет простые полюсы с вычетами:
Выч Г(г) = Ь^.
2 s= — Л Ш
Покажем теперь, что если с^>0, то функция Г (с -(- it) быстро убывает при |?|-»-оо, т. е. что для любого О
lim |г|"Г(с4-#) = 0. (10)
I t I -* оо
Для этого в интеграле (1) п. 4 положим z = c-\-it и x = es. Мы получим
00
Г(с-|-г?)= ^ е~eS + cseitsds. (11)
— 00
Таким образом, Г (с —[— г^) является преобразованием Фурье функции е— е + CS' но эта функция бесконечно дифференцируема и при |s|-»-co быстро убывает вместе со всеми производными. Иными словами, e~eS + cs — функция из пространства @ (см. п. 2 § 4). Но тогда,
согласно п. 3 § 4, и преобразование Фурье Г(с-|-#) этой функции
принадлежит пространству @ и, значит, быстро убывает при 11 \ оо.
§ 1) Представления Группы линейных Преобразований $4Ё)
6. Теорема сложения для Г-функции и ее следствия. Выведем теперь теорему сложения для Г-функции. Для этого используем равенство
g{b, 1)*(1, 1) = *(*+1, 1). (1) Из равенства (1) вытекает, что
Rx(b, 1)/?х(1, 1) = /?х0+1, 1) (2)
и потому для любой функции $ (z) из @ имеем (при Х = 1)
Cl + I 00 с + I со
^ Г (w — u)buwdu ^ Г (гг — z)%(z)dz =
Ci — i со с — i со
С + I оо
= 5 T{w~z){b-\-\f^%{z)dz, (3)
С — i со
