Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/1 0 t\ g=<*> i(0 = i oio
- \ О 0 1 /
0)
Движение g 1 переводит вектор х(лг,_у) в вектор g 1 х = (лг — t,y). Поэтому оператор Limy^t)) переводит функцию f(x, у) в
L (Ч (0)/(*, y)=f(x — t, у).
Значит,
Ai:
. dL (at (t)) dt
t-о
d_
dx'
(2)
(3)
Точно так же доказывается, что
Аа = ----
ду ‘
(4)
Наконец, оператор L (ш;, (t)), где
cos t — sin t 0 \
to;, (t) = [ sin t cos t 0 ' >
0 0 1 у
переводит функцию /(л:, у) в
L (ш3 (t) f(x, у))= f(x cos t -|-_y sinf, — jc sin f-|-_y cos t).
Поэтому
Аъ=у
дх
x
ду'
(5)
В полярных координатах операторы Аи А%, А3 записываются следующим образом:
. d , sina d
А, = — cos а з- -]-------------з—
dr 1 Г да
, . д cos а д
Аъ = — sin а ^ —
дг
д.а
(6)
Разумеется, точно такой же вид имеют инфинитезимальные операторы и для представления L^(g) в пространстве поскольку оно получается путем сужения квазирегулярного представления. Из формул (6)
226 представления ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
*
вытекает, что
H+ = Al-\-lAi = — е11 (-Jr+y^-), J
^(к-f-яг)-1 т
С помощью формул (7) можно дать новый вывод рекуррентных соотношений для функций Бесселя. Для этого заметим, что канонический базис и пространстве состоит из функций
В самом деле, в пространстве SjR канонический базис состоит из функций е,п^. Но при обратном преобразовании Фурье функции е!Лф8(|у|—R) переходят в
щ-г J ein^ (I У I —R)er- ^ у) dy =
2ти
= (2^ \ e~lRrZ0S(*~a) ein* db= — i)nJn(Rr) eina о
(см. п. 1 § 3). Отсюда и следует наше утверждение.
Но, как было показано в формулах (4) и (4') п. 3 § 2, для векторов fn = e,n^ канонического базиса выполняются соотношения
H+f„ = iRfn+l, (80
HJn = iRfn_, (8")
(в формулах (4) и (4') п. 3 § 2 мы заменили R на iR, поскольку
Lr Сg) TiR(g); см. стр. 221). Те же соотношения должны выпол-
няться и для Еекторов (—i)neinaJ„(Rn) канонического базиса в Таким образом, мы получаем из (8')
- ^ {rr + Т i) [( - 1Те‘П^п («г)] = R( — i)V (»«) “ Ja+l (Rr). Раскрывая скобки и полагая /^ = 1, получаем
rJn+i </) = nJn (/) — rJn (г). (9)
Точно так же из (8") получаем
rJn -1 (0 = nJn 00 + rJn </)•
Из формул (8') — (8") вытекает, что для пекторов канонического базиса выполняется равенство
H+HJn = — I?fn. (10)
Подставим в это равенство вместо операторов Н+ и Н_ выражения (7), а вместо f„—функции (—Vf егпл Jn(Rr). Мы получим, что функции
§5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ 227
*
Бесселя удовлетворяют дифференциальному уравнению
(я+т&У' (s-f !)¦=-«*«'”¦ лсад.
Преобразуя его и полагая Я=1, получим уравнение Бесселя
¦/Лг)+у/п(г)+ (l -p)Ja(r) = О
для функций Jn (г).
Отметим в заключение, что оператор Н,Н_ совпадает с операто-д~ д'1
ром Лапласа Д = > записанным в полярных координатах.
Поэтому из равенства (10) вытекает, что функции etnaJn (Rr) являются собственными функциями оператора Лапласа, соответствующими собственному значению — R*-
5. Разложение регулярного представления. Перейдем, наконец, к разложению регулярного представления
T(g«)f(g)=f(golg) 0)
группы Ж (2). Здесь f (g)— функция на М(2), такая, что
$l/fe)|3dg-< + oo. (2)
Обозначим пространство таких функций через ,?). Покажем, что регулярное представление является прямой суммой счетного множества представлений, эквивалентных квазирегулярному представлению.
Согласно п. 2 § 1 элементы g группы М (2) можно задавать вектором х параллельного переноса и углом ср поворота вокруг начала координат, g.= g(x, ср). Разложим функции /(х, ср) из ^ в ряд Фурье по ср:
СО
