Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Q?(x) = q(x)y(x). (10)
Чтобы вычислить функцию q(x), используем перестановочность оператора Q с операторами
R, (g (0, а)) ср (л-) = ф (ах). (11)
Равенство QRX (g(0, a)) = R} (g(0, a)) Q означает, что
q (x) cp (ax) = q (ax) cp (ax)
и потому q(x) = q(ax). Следовательно, q(x) — постоянная. Тем самым доказано, что любой оператор Q, перестановочный со всеми операторами R\(g), кратен единичному оператору, а следовательно, представление Rx (g) операторно неприводимо.
При X —0 представление R\(g) принимает вид
Ro(g)y (х) = <р (ах). (12)
Это представление является не чем иным, как регулярным представлением подгруппы А, и потому приводимо. Неприводимыми компонентами представления R0 (g) являются унитарные одномерные представления
g(b,a)^a^ (13)
группы О.
Мы построили, таким образом, серию R^(g) неприводимых представлений группы О.. Покажем теперь, что если X = fy,, где ?^>0 —
положительное число, то представления R^(g) и R^(g) эквивалентны.
В самом деле, обозначим через S оператор
S-? (х) = с? (tx) (14)
в пространстве 2). Легко проверить, что
SiRx(g)S = RlL(g) (15)
и, следовательно, представления R\(g) и R^(g) эквивалентны.
До сих пор мы рассматривали представления Rx(g) в пространстве 2) бесконечно дифференцируемых финитных функций на полуоси 0<^Jt<^oo, обращающихся в нуль в некоторой окрестности
точки л: = 0. Введем теперь в это пространство скалярное произве-
дение, положив
СО
(?. ф)= $?(¦*)Н*)т <16)
О
dx
(мера — инвариантна относительно преобразований подобия х—>ах на прямой: <^^-= . Найдем, при каких значениях X представле-
§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 239
ние R\(g) унитарно относительно этого скалярного произведения. Имеем
(R\(g)b R\(g)b) =
5? _ ______ У (>¦+*) а* _______________ .
— V e(X+X) ьху (ах) ф (сх) — = \ е ° <р (х) ф (х) .
Ясно, что для выполнения равенства
(Rx(g)?, (S) Ф) = (т. Ф) (17)
при всех ср, ф 3) и g(^G необходимо и достаточно, чтобы Х-|-Х= = 0, г. е. чтобы ). было чисто мнимым числом. Поэтому при чисто мнимых значениях \ представления Rk (g) продолжаются до унитарных представлений в гильбертовом пространстве Jq. Легко видеть, что при остальных значениях X операторы R^(g) неограни-чены в ,?) и потому представление R\(g) не продолжается до представления в ?). Однако если ReX<^0, то представление (5) можно продолжить до представления в .?> полугруппы g(a, b), Ь~^>0. При ReX^>0 продолжается представление полугруппы g(a, b), Ь<^ 0.
Поскольку при t^> 0 представления R^(g) и Ra(g) эквивалентны, неприводимые унитарные представления Rei(g) группы О эквивалентны одному из дпух представлений:
R- (g) ? (х) = eibx'r (ах)
R.r(g)?(x) = e-ib\(ax).
Можно показать, что этими представлениями и одномерными представлениями g(a,b)~^atf исчерпываются все, с точностью до эквивалентности, унитарные неприводимые представления группы G(cm. [145]).
3. Приведение операторов (g (0, а)) к диагональному виду.
В построенной выше реализации представлений Rx(g) (см. формулу (5) п. 2) элементам g(b, 1) подгруппы В соответствуют операторы умножения на еХЬх. Если рассматривать значения функции в точке как «координаты» этой функции, то. оператор умножения на функцию является аналогом диагональной матрицы (каждая «координата» умножается на некоторое число). Поэтому можно сказать, что при выбранной реализации представлений R\(g) операторы R\(g(b, 1)) приведены к диагональному виду.
Построим теперь другую реализацию представлений R^(g), при которой диагональный вид имеют операторы, соответствующие элементам ?(0, а) подгруппы А. Для этого перейдем от функций 'о (х) к их преобразованиям Меллина
СО
g (w) = $ ср (х) xw 1 dx. (1)
о
240 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
Нетрудно показать (ср. п. 1 § 4), что функциям ср (л:) из пространства 2)соответствуют при этом преобразовании целые аналитические функции от w—n-\-iv, быстро убывающие на мнимой оси:
lim М" 8 (го) = 0, (2)
TJ—>СО
и такие, что при некотором 0 выполняется неравенство
max | g (гг -(- iv) \ С \ гг |с max | g (iv) |. (3)
