Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
о
Далее,
[T(g)f(<h, 1>S)V = [^COs№i''f+P,/(<W-a. Фа—a)V =
— е,*'е“«’‘-»+*>/(ф1 b + V— «)>
где ^ и р определяются формулами (4) и (4') при ф.2 — ф, = ц. Это равенство можно переписать так:
[T(g)fttb h)l = T^(g)ftAb)’ (7)
где при g—g(r, ф, а) имеем
Т, (g)f, (ф) = (ф _ а) (8)
(/? и р зависят от ц по формулам (4) и (4') при ф2 — Ф1 = [А Отсюда
следует, что T(g) является непрерывной прямой суммой представле-
ний T^g);
2-г.
Т(я) = -<1- [ T,(g)dn. (9)
о
Формула (8) показывает, что представление 7\x(g) эквивалентно представлению Tw(g) группы М(2) и потому унитарно и неприводимо. Таким образом, мы разложили представление T(g) в непрерывную прямую сумму унитарных неприводимых представлений.
2. Кронекеровское произведение и формула умножения. Покажем, что из полученного разложения кронекеровского произведения вытекает новый вывод формулы умножения для функций Бесселя.
§ cl ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 231
В самом деле, из формул (7) и (9) п. 1 вытекает, что
(T(g)A, Л)=^ § «ШЯ, /*Д^ =
О
2л
=~У \ (7v ig) л*. /*л ^=
и
2л 2л
. S S (1)
о о
Применим эту формулу к функциям
/.№, К>=1, Л(ф1, =
Для этих функций имеем
/*(40=1.
Mg)/ili(« = e,'/?rcosW'~v+p)
И
f4 (ф) = е»'«1‘^(я+™)Ф
Поэтому по формуле (1)
|2л 2*
(T(g)A, /») = й? ^ ^ е;1«-о5(ф-? + р)-тч-(Л + т)ф1^^ = о о
2я 2п
4ТС2 j О
2л
— 2я
О
где, напомним,
= cos (X, -
„гр__^i + ^2?'11
Я
Но (T(g)fi, А) является матричным элементом tnm 00 (g) представления Т (g). Матричные элементы кронекеровского произведения равны произведениям матричных элементов сомножителей и потому
232
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. IV
Подставляя значения матричных элементов ^о1 (g) и t‘mo (g) (см. формулу (10) п. 1 § 3), получаем после несложных преобразований
A№)4№)=i J e~i[m^n + mmJn+m{R)d^
о
где р и R выражаются через Rb R%, ф по формулам (4) — (4") п. 1. Это равенство лишь обозначениями отличается от формулы умножения для бесселевых функций (см. п. 2 § 4).
§ 7. Функции Бесселя и функции Р1тп{х)
1. Группа движений плоскости и группа вращений сферы.
Евклидову плоскость можно в известном смысле слова рассматривать как сферу бесконечного радиуса: если увеличивать радиус сферы и соответственно смещать ее центр в бесконечность, сфера перейдет в пределе в плоскость. В соответствии с этим и группу М (2) движений плоскости можно рассматривать как предел группы 50 (3) вращений сферы.
Точнее это означает следующее. Умножение элементов в группе 50(3) определяется формулами (2) п. 2 § 1 главы III. Заменим в этих
формулах углы о, 0, ф, 0t, 0.2, сра соответственно на ср, а, -к,
н н н
ctj и возьмем главные члены при Я—>-со. Несложная выкладка показывает, что при этом получим формулы (8) п. 2 § 1, задающие умножение элементов в группе М(2).
Итак, группу М (2) можно рассматривать как вырожденную группу 50(3) при стремлении R к со. В том же самом можно убедиться, рассматривая алгебры Ли этих групп. Для группы 50(3) соотношения коммутации в алгебре Ли имеют следующий вид:
[fli> аа] = а3,
[аа, а3] = аъ [а3, а1] = а4.
Если заменить параметр t в однопараметрических подгруппах и 8а на t/R, и устремить R к бесконечности, то получим в пределе соотношения коммутации
