Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
: J sal w !(1 — S)11 lds. (2)
о
Сравнивая формулы (1) и (2), убеждаемся, что
Г (и + w) Г (— и)
Г (w)
или, иными словами,
г»/г ,л Г(Х)Г(У) /о\
В{х,у)— Т(х+уу, W
Чтобы вывести формулу удвоения для Г(л:), положим в формуле (3) х=у. Мы получим
Щ = в <*, х) = J г - ¦ 11 - ty-'dt = j [± - (1 - t)'Y' dt=
_L 1
Т 2
du.
248 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
Сделаем подстановку 4н2 = t. Мы получим
Га(*) Г (2л:)
2^+1^(1 —tf-Ч 2 dt =
1
2-2*+1Г(л:) Г __ 2-zx+i в (х, у)= V
Так как г(—|=|/тс, то из этого равенства следует, что
(*)Г
Г (2лг) =-----------7J------tL. (4)
У it
8. Преобразование Фурье функций л;“ и хЧ. Мы определили функцию Г (и) при Re и^> О формулой
ОО
Г (и) = § е~ххи 1 dx, (1)
о
из которой непосредственно вытекает, что если ?^>0, то
00
\e-txx*-xdx = Y(u)1r*. (2)
о
Докажем, что эта формула остается справедливой и при комплексных t, таких, что Re?^>0. Для этого сделаем в интеграле (2) подстановку tx = z. Если arg?=a, то
получим
оо сое 1л
$ е-1хх“-Чх = Ги $ e~zzu-'dz.
о о
Подынтегральная функция не имеет особенностей в секторе, ограниченном осью Ох и лучом (0, со е~,а). Поэтому
\е~‘зГЧг = О,
L
где через L обозначен контур, изображенный на рис. 3. Легко проверить, что если — -^-<^а<^-^-, то при е-»-0 интеграл по дуге АВ стремится к нулю, а при R-*-oo стремится к нулю интеграл по
§ Ч ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 249
дуге CD. Отсюда вытекает, что при —
—in
сое оо
§ e~'zzu~ldz = ^ e~xxu~Adx = Г (гг),
о о
и потому при —
СО
\е‘ххпЧх = Т(и)Гп.
О
Тем самым доказана справедливость формулы (2) при усяовии
“Л j -*• те
-Y<arS^<T-
Формула (2) остается справедливой и при arg t = ±^-^ если О Re и 1, то
оо Ttui
f e-itxxu-ldx = Г до Т (3)
О
^ еНхх" Чх = Г (гг) t "е 2. (3')
о
Формулы (3) и (3') можно рассматривать как формулы для преобразования Фурье функций хЧ~1 и х“~1, определяемых равенствами
О при х О,
\х\и^ при л:<^0 и
( л:"*1 при jc О,
Xй — 1 = <
+ \ О при д:<^0.
9. Представления группы линейных преобразований прямой, индуцированные одномерными представлениями подгруппы А. Мы рассмотрели в п. 2 неприводимые представления группы G, индуцированные одномерными представлениями подгруппы В элементов вида g(b, 1), Рассмотрим теперь неприводимые представления этой группы, индуцированные одномерными представлениями подгруппы А элементов вида g (0, а). Эти одномерные представления имеют вид g (О, а) —>¦ а°. Поэтому индуцированные ими представления реализуются в пространствах •&° функций f(g) на группе G, таких, что
/ (g (0, в„) g (Ъ, о)) = a-/ (g (Ь, а)). (1)
Оператор представления задается формулой
(go)f(g)=f(ggo). (2)
