Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 107

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 241 >> Следующая


где Re w с. В силу доказанного выше быстрого убывания

Г (с — z-\-lt) и Г(и> — с — it) при 11 \ оо, можно изменить порядок интегрирования и получить

с + / оо

5 Г (да — z){b-\-\f-™$(z)dz =

с — i со

С + / 00 С1 + / 00

= ii J S (г)dz j I1 — «) I1 (ii — z) bu wdu. (4)

с — i со с i — i oo

Поскольку равенство (4) имеет место для всех функций % (г), то из него следует, что

С1 + / 00

Г (w z) j =2la J г (w — u) Г (гг z) bu z du, (5)

Cl — / 00

где Re w cx Re г. Заменив b на t, и—г на и и w — -г на w,

получим

с 1 + i оо

Г(®)(7ТгГ = 25- S Г (и» — гг) Г (гг) t“du, (5')

Cl — / 00

где Rew^q^O. Назовем это равенство формулой сложения для Г-функции. При t= 1 получаем частный случай формулы сложения

Cl + / оо

2~w Г (w) = ~ J T(w — u)T(u)du. (6)

Cl — / оо

Заменив в формуле (5') гг на — и, убедимся в том, что функция

/ f \W

Г (w) является, обратным преобразованием Меллина для
246 ФУНКЦИИ ГАНКЁЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V

функции Г(и»-|-н)Г(—и). Поэтому в силу двойственного преобразования Меллина имеем

Г (w + и) Г (— и) Г(®)

ии

: (j r+“^(l +tywdt, (7)

о

где Re и <^ 0, Re (w и) 0.

Положим в формуле (7) w= 1. Так как Г(1) = 1, то получим

ОО

Г (1 + И) Г (- и) = $ t“{ 1 +t)1 dt, (8)

о

где — l<^Rez*<^0. Вычислим интеграл в правой части рапенства (8). Для этого сделаем в нем подстановку t = xi; получим

ои

Г* *.2/1+1

Г(1+н)Г(- и) = 2 \r+^dx.

Заменим интегрирование по полуоси 0х<^оо интегрированием по всей вещественной оси —oo<^Jt<^oo, причем точку х = 0 будем обходить в верхней полуплоскости. Тогда на отрицательной полуоси имеем л:2“+1 = |лг]2“+V'2"+1* и потому

оо со

x~u+ldx „ Р XSn+l

I Тт?=<|-«“М

dx.

. l+r

о

Следовательно,

2 с y2u+if]x

Г(1+н)Г(-И)=т-|йг1Т j ^ГТ^, (9)

— OO

где, напомним, —l<^Rez*<^0, и точка Jt = 0 обходится в верхней полуплоскости.

Дополним вещественную ось полуокружностью в верхней полуплоскости бесконечно большого радиуса. Интеграл по этой полуокружности дает нулевой вклад, поскольку Rez*<^0. Контур же, состоящий из этой полуокружности и вещественной оси, охватывает

я/

единственную особую точку х = е 2 подынтегральной функции. Поэтому, применяя формулы Коши и Эйлера, получаем

2 <тг pttTZl .jr

Г(1+и)Г(— а)= щг =---------------Д—.

v I / v 1 j — eaaici sln %и

Иными словами,

Г(*)Г(1-*)=^. (10)
§ 11 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247

Формула (10) называется формулой дополнения для гамма-функции. Полагая в формуле (10) х — х/г, находим, что Г2 (1/2) = тс и потому

(П)

Далее, полагая в формуле (10) х =xj^-\-it, получаем

Т{^ + “)\ = -Т^-7\=ЖТ,- (12)

sin (у + itn

7. Бета-функция и формула удвоения для Г(д:). С функцией Г (jt) тесно связана функция В (х, у), называемая бета-функцией. Она определяется равенством

\ ( Rejc>0,

B(Jf, у)= 4t, ^ (1)

о I Re_y> 0.

Чтобы установить связь между Г(х) и В (х, у), сделаем в интеграле (7) п. 6 подстановку y-^- = s. Мы получим

Г (w -j- и) Г (— и)

Г(йО

1
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed