Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
где Re w с. В силу доказанного выше быстрого убывания
Г (с — z-\-lt) и Г(и> — с — it) при 11 \ оо, можно изменить порядок интегрирования и получить
с + / оо
5 Г (да — z){b-\-\f-™$(z)dz =
с — i со
С + / 00 С1 + / 00
= ii J S (г)dz j I1 — «) I1 (ii — z) bu wdu. (4)
с — i со с i — i oo
Поскольку равенство (4) имеет место для всех функций % (г), то из него следует, что
С1 + / 00
Г (w z) j =2la J г (w — u) Г (гг z) bu z du, (5)
Cl — / 00
где Re w cx Re г. Заменив b на t, и—г на и и w — -г на w,
получим
с 1 + i оо
Г(®)(7ТгГ = 25- S Г (и» — гг) Г (гг) t“du, (5')
Cl — / 00
где Rew^q^O. Назовем это равенство формулой сложения для Г-функции. При t= 1 получаем частный случай формулы сложения
Cl + / оо
2~w Г (w) = ~ J T(w — u)T(u)du. (6)
Cl — / оо
Заменив в формуле (5') гг на — и, убедимся в том, что функция
/ f \W
Г (w) является, обратным преобразованием Меллина для
246 ФУНКЦИИ ГАНКЁЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
функции Г(и»-|-н)Г(—и). Поэтому в силу двойственного преобразования Меллина имеем
Г (w + и) Г (— и) Г(®)
ии
: (j r+“^(l +tywdt, (7)
о
где Re и <^ 0, Re (w и) 0.
Положим в формуле (7) w= 1. Так как Г(1) = 1, то получим
ОО
Г (1 + И) Г (- и) = $ t“{ 1 +t)1 dt, (8)
о
где — l<^Rez*<^0. Вычислим интеграл в правой части рапенства (8). Для этого сделаем в нем подстановку t = xi; получим
ои
Г* *.2/1+1
Г(1+н)Г(- и) = 2 \r+^dx.
Заменим интегрирование по полуоси 0х<^оо интегрированием по всей вещественной оси —oo<^Jt<^oo, причем точку х = 0 будем обходить в верхней полуплоскости. Тогда на отрицательной полуоси имеем л:2“+1 = |лг]2“+V'2"+1* и потому
оо со
x~u+ldx „ Р XSn+l
I Тт?=<|-«“М
dx.
. l+r
о
Следовательно,
2 с y2u+if]x
Г(1+н)Г(-И)=т-|йг1Т j ^ГТ^, (9)
— OO
где, напомним, —l<^Rez*<^0, и точка Jt = 0 обходится в верхней полуплоскости.
Дополним вещественную ось полуокружностью в верхней полуплоскости бесконечно большого радиуса. Интеграл по этой полуокружности дает нулевой вклад, поскольку Rez*<^0. Контур же, состоящий из этой полуокружности и вещественной оси, охватывает
я/
единственную особую точку х = е 2 подынтегральной функции. Поэтому, применяя формулы Коши и Эйлера, получаем
2 <тг pttTZl .jr
Г(1+и)Г(— а)= щг =---------------Д—.
v I / v 1 j — eaaici sln %и
Иными словами,
Г(*)Г(1-*)=^. (10)
§ 11 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247
Формула (10) называется формулой дополнения для гамма-функции. Полагая в формуле (10) х — х/г, находим, что Г2 (1/2) = тс и потому
(П)
Далее, полагая в формуле (10) х =xj^-\-it, получаем
Т{^ + “)\ = -Т^-7\=ЖТ,- (12)
sin (у + itn
7. Бета-функция и формула удвоения для Г(д:). С функцией Г (jt) тесно связана функция В (х, у), называемая бета-функцией. Она определяется равенством
\ ( Rejc>0,
B(Jf, у)= 4t, ^ (1)
о I Re_y> 0.
Чтобы установить связь между Г(х) и В (х, у), сделаем в интеграле (7) п. 6 подстановку y-^- = s. Мы получим
Г (w -j- и) Г (— и)
Г(йО
1