Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Если у = агх-\-Ьъ и z = a1_y-|-^i> т0
Z CL[CL^X “J- CL\bt% “J- Ь\,
Поэтому групповая операция в группе G задается формулой
g{bi, di)g(bi, а2) =#(?, +a A, a,a2). (1)
Из формулы (1) видно, что элементы вида g(b, 1) образуют в группе G подгруппу, изоморфную аддитивной группе R вещественных
236 Функции ГаНкеля и макДоналЬДа (ГЛ. V
чисел:
g(K 1 )g(bb \) = g{bx-\-bi, 1).
Элементы же вида ^(0, а) образуют подгруппу А в G, изоморфную мультипликативной группе R+ положительных чисел:
g(°> <*i)g(0, a2) = g(0, ajflg).
Группа G изоморфна группе матриц вида ^ jj. Это непосредственно вытекает из равенства
(ai ЬЛ/а^ ЬЛ __ {а^ афч -|-йЛ
\0 1 До л) [о 1 г
Группа G является скрещенным произведением аддитивной группы Д вещественных чисел и группы R+ ее автоморфизмов х —> ах, а > 0.
2. Неприводимые представления группы б. Построим неприводимые представления группы G. С этой целью рассмотрим представления группы G, индуцированные одномерными представлениями е1ь подгруппы В элементов вида g(b, 1). Согласно п. 6 § 2 главы I индуцированные представления строятся в пространстве функций f(g) на группе G, таких, что
f{g{bо, \)g{b, a)) = eu°f {g{b, а)). (1)
Если положить f(g)=f(b,a), то равенство (1) записывается так:
f{b-{-bo,a) = ekbof(b,a). (2)
Поэтому функции f(b,a) из пространства имеют вид
f (b, а) = eXbf (0, а) = ехь ср (а), (3)
где ср(а)=/(0, а)—функция на подгруппе А (или, что то же, на луче 0 а со).
Операторы индуцированного представления выражаются формулой
R\(go)f(g)=f(ggo), f (ё) Е •6л- (4)
Выясним, как записываются эти операторы при переходе от функций f(g) к функциям ср (а)- Так как
g(0, a) g(ba, a0) = g(ab0, а0а),
то
R\ (go) <?(<*)=/(ab0, а0а) = elab<> ? (а0а).
Итак, представление R-t (g) группы О, индуцированное представлением ехь подгруппы В, строится в пространстве функций на полуоси 0<^л:<^со и задается формулой
R\{g)y{x) = ekbx у{ах) (5)
(мы заменили а на л: и ай, Ьй на а, Ь).
§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 2&7
Очевидно, что операторы R\(g) оставляют инвариантным пространство 2) бесконечно дифференцируемых финитных функций на полуоси, обращающихся в нуль в некоторой окрестности точки х = 0. В дальнейшем будем рассматривать операторы R^(g) в этом пространстве.
Найдем инфинитезимальные операторы представления Rx(g), соответствующие однопараметрическим подгруппам А и В. Элементам g(0, е‘) подгруппы А соответствуют операторы
Продифференцируем обе части этого равенства по / и положим t = 0. Мы получим, что инфинигезимальный оператор ах имеет вид
вытекает, что инфинитезимальный оператор представления Rx(g), соответствующий подгруппе В, имеет вид
Операторы и определены во всем пространстве 2). Соотношение коммутации для операторов и Ьх имеет вид
Покажем, что при X ф 0 представления Rx(g) группы G операторно неприводимы, т. е. что любой оператор Q, перестановочный с операторами R\(g), кратен единичному. Из перестановочности оператора Q с операторами представления Rx вытекает его перестановочность с инфинитезимальными операторами ах и bНо оператор Ьх лишь постоянным, множителем отличается от оператора умножения на х. Отсюда вытекает, что оператор Q, перестановочный со всеми операторами R\(g), должен быть перестановочен и со всеми операторами умножения на многочлены, а потому и со всеми операторами умножения на функцию (напомним, что операторы действуют в пространстве финитных функций).
Известно, что единственными операторами в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций, перестановочными со всеми операторами умножения на функцию, являются операторы умножения
R\ (g(0. е‘)) ?(*) = ? (е‘х)-
(6)
ах? (х) = ху'(х).
(7)
Иными словами,
(70
Точно так же из равенства
Ь\ '¦? (х) == кх'1 (х)-
(8)
Поэтому
Ьх = Хх.
(8')
[«X. = яА — Vx = К
(9)
238
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
на функцию. Поэтому оператор Q имеет вид
