Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 105

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 241 >> Следующая


V V

Найдем, как преобразуются при переходе or ср(лг) к опера-

торы R\(g). Обозначим через %g(w) преобразование Меллина функции Rx (g) ? (х):

оо оо \Ьх

%g{w) = ^ekbxy(ax)xwidx = aTw^ea v(jc)xw 1 dx. (4)

о о

При Ь = 0 эта формула принимает вид

ОО

$g (®0 = а w \ У (х) Xw~x dx = a w$g (w). (5)

о

Таким образом, элементам ^(0, а) подгруппы А соответствует оператор умножения на a~w:

(g (0, а)) 5 (w) = a w g (w). (6)

Выясним теперь, какой вид имеют операторы R\(g), соответствующие g(a, Ь) при b ф 0. По формуле обращения для преобразования Меллина имеем

c-[-ioo

= Ы \ x~z%(z)dz> (7)

С — <00

где с— любое вещественное число. Поэтому

оо с —г оо

М«0 = ?г5 J e~x^%{z)dzdx.. (8)

О с — <оо

Пусть ?^>0. Тогда при ReX<^0, Rew^>c, интеграл (8) абсолютно сходится, и поэтому можно изменить порядок интегрирования. Мы получим

c + i оо

%g{w) = Rx{g)%{w)= K(w, z;g)${z)dz, (9)

c — <00

где

\bx

К (w, z; g) = \ e a xw z 1 dx. (10)

r ~W

1) To есть бесконечно дифференцируемым финитным функциям, равным нулю в некоторой окрестности точки jc = 0.
§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 241

Пользуясь формулами (6) и (10), легко найти инфинитезимальные операторы представления Rxig)- Пусть g = g(0, е‘). Тогда из равенства (6) следует, что

Дифференцируя это равенство по f и полагая ?=0, получаем dRx(g(0, е‘))

а>$ (®) =

$(w) = — w$(w). (11)

dt t = 0 '

Точно так же из равенства

ОО

R\ (g (t, 0)) g (w) — $ ektx’s (л:) х™~1 dx

0

получаем

, Г-ч , ЛЧЧ 00

t=0 5 («О = ^ У (•*) xw dx= Xg (w -f 1).

i _dRx(g(t,0)) dt

0

Поэтому инфинитезимальный оператор, соответствующий подгруппе В, имеет вид

*х5(®) = ^(®+1). (12)

4. Выражение ядра K{w,z; g) через Г-функцию. Мы получили

выражение операторов представления R\(g) в виде интегральных

операторов с ядром Это ядро может быть выражено через

степенную функцию и специальную функцию Г (г), называемую гамма-функцией.

Определим сначала Г (г) лишь при Re,2^>0 формулой

ОО

T{z)^\e~xx^dx. (1)

о

Пусть в интеграле (10) п. 3 Х<^0 и ?^>0. Сделаем в этом интеграле подстановку -^i- = — t:

ОО

\b^~w стш I---

a-w

K{w, z- g) =---------------------1 e i dt

a) T(w-z)a~^( lb\™

2%i J 2 Tti \ a

о

Итак, доказано, что при Х<^0, b 0, Re w Re г, ядро К (w, z; g) выражается формулой

ч Y(w — z)arw( lb\z-™

К (w, z; g) = -----(----Г) • (2)

Распространим теперь формулу (2) на комплексные значения X и Ь. Для этого заметим, что согласно формуле (1) ядро К(Щ z; g) является
242 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V

аналитической функцией от — ХЬ в комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрицательной полуоси. С другой стороны, из формулы (4) п. 3 видно, что $g(w) также является аналитической функцией от —ХЬ. Так как при 0<^—ХЬ<^ оо имеет место доказанное нами равенство

с + i оо

Ri (g) 3 О) = ( г (w — z) {— ^ W % (2) dz, (3)

с — i со

то оно справедливо для всех значений X и Ь, таких, что — \Ь не лежит на отрицательной полуоси.

В частности, имеют место формулы

Я+Ш(®0 = ^ J Y{w-z)[-b^W%{z)dz (4)

с — * СО

с + i оо

R(g)A(w) = a^r J T{w-Z)[^fW7nz)dz. (4')

с — i со

5. Свойства Г-функции. Функция Г (г) определена формулой (1) п. 4 лишь при Re^^>0. Очевидно, что в этой области она аналитически зависит от г. Определим ее при Re2<^0 с помощью аналитического продолжения. Покажем, что это продолжение однозначно определено. Для этого установим функциональное уравнение, которому удовлетворяет Г-функция.
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed