Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
V V
Найдем, как преобразуются при переходе or ср(лг) к опера-
торы R\(g). Обозначим через %g(w) преобразование Меллина функции Rx (g) ? (х):
оо оо \Ьх
%g{w) = ^ekbxy(ax)xwidx = aTw^ea v(jc)xw 1 dx. (4)
о о
При Ь = 0 эта формула принимает вид
ОО
$g (®0 = а w \ У (х) Xw~x dx = a w$g (w). (5)
о
Таким образом, элементам ^(0, а) подгруппы А соответствует оператор умножения на a~w:
(g (0, а)) 5 (w) = a w g (w). (6)
Выясним теперь, какой вид имеют операторы R\(g), соответствующие g(a, Ь) при b ф 0. По формуле обращения для преобразования Меллина имеем
c-[-ioo
= Ы \ x~z%(z)dz> (7)
С — <00
где с— любое вещественное число. Поэтому
оо с —г оо
М«0 = ?г5 J e~x^%{z)dzdx.. (8)
О с — <оо
Пусть ?^>0. Тогда при ReX<^0, Rew^>c, интеграл (8) абсолютно сходится, и поэтому можно изменить порядок интегрирования. Мы получим
c + i оо
%g{w) = Rx{g)%{w)= K(w, z;g)${z)dz, (9)
c — <00
где
\bx
К (w, z; g) = \ e a xw z 1 dx. (10)
r ~W
1) To есть бесконечно дифференцируемым финитным функциям, равным нулю в некоторой окрестности точки jc = 0.
§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 241
Пользуясь формулами (6) и (10), легко найти инфинитезимальные операторы представления Rxig)- Пусть g = g(0, е‘). Тогда из равенства (6) следует, что
Дифференцируя это равенство по f и полагая ?=0, получаем dRx(g(0, е‘))
а>$ (®) =
$(w) = — w$(w). (11)
dt t = 0 '
Точно так же из равенства
ОО
R\ (g (t, 0)) g (w) — $ ektx’s (л:) х™~1 dx
0
получаем
, Г-ч , ЛЧЧ 00
t=0 5 («О = ^ У (•*) xw dx= Xg (w -f 1).
i _dRx(g(t,0)) dt
0
Поэтому инфинитезимальный оператор, соответствующий подгруппе В, имеет вид
*х5(®) = ^(®+1). (12)
4. Выражение ядра K{w,z; g) через Г-функцию. Мы получили
выражение операторов представления R\(g) в виде интегральных
операторов с ядром Это ядро может быть выражено через
степенную функцию и специальную функцию Г (г), называемую гамма-функцией.
Определим сначала Г (г) лишь при Re,2^>0 формулой
ОО
T{z)^\e~xx^dx. (1)
о
Пусть в интеграле (10) п. 3 Х<^0 и ?^>0. Сделаем в этом интеграле подстановку -^i- = — t:
ОО
\b^~w стш I---
a-w
K{w, z- g) =---------------------1 e i dt
a) T(w-z)a~^( lb\™
2%i J 2 Tti \ a
о
Итак, доказано, что при Х<^0, b 0, Re w Re г, ядро К (w, z; g) выражается формулой
ч Y(w — z)arw( lb\z-™
К (w, z; g) = -----(----Г) • (2)
Распространим теперь формулу (2) на комплексные значения X и Ь. Для этого заметим, что согласно формуле (1) ядро К(Щ z; g) является
242 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
аналитической функцией от — ХЬ в комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрицательной полуоси. С другой стороны, из формулы (4) п. 3 видно, что $g(w) также является аналитической функцией от —ХЬ. Так как при 0<^—ХЬ<^ оо имеет место доказанное нами равенство
с + i оо
Ri (g) 3 О) = ( г (w — z) {— ^ W % (2) dz, (3)
с — i со
то оно справедливо для всех значений X и Ь, таких, что — \Ь не лежит на отрицательной полуоси.
В частности, имеют место формулы
Я+Ш(®0 = ^ J Y{w-z)[-b^W%{z)dz (4)
с — * СО
с + i оо
R(g)A(w) = a^r J T{w-Z)[^fW7nz)dz. (4')
с — i со
5. Свойства Г-функции. Функция Г (г) определена формулой (1) п. 4 лишь при Re^^>0. Очевидно, что в этой области она аналитически зависит от г. Определим ее при Re2<^0 с помощью аналитического продолжения. Покажем, что это продолжение однозначно определено. Для этого установим функциональное уравнение, которому удовлетворяет Г-функция.