Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
Ь нечетно.
§ 6. Предположим теперь, что решетка W допускает комплексное умножение на
число со. Определим АиЭ, как в гл. V, § 8. Формула (3) § 2 показывает,
что niA/ий лежит в k.
Объединяя результаты § 5 с последними выводами гл. V, получаем, что числа
А~а(и/^)а+ье*а,ь (или па<2Га~ь иьй~ае*а}Ь) алгебраичны над Q.
Аналогично, объединяя результаты § 3-4 гл. V, находим, что значения
функции
а(tm)-a-b Ь--аг<* / \
и и Еа,ъ\х)
в точках x^QW, не принадлежащих W, алгебраичны над Q.
В частности, если решетка W лежит в мнимом квадратичном поле k, то и и й
лежат в этом поле. Следовательно, в этом случае величины
Qtcv-й-Ь * Clot-Cl - Ь r~i* / \
п ш еа,ь> я §) Ea,b(x)
для всех xeQIF = k9 не лежащих в W, алгебраичны над Q при условии, что
Ь>а^ 0.
Мы можем сравнить этот вывод с теоремой Дамерелла, цитированной в гл. V,
§ 1. Теорема Дамерелла относится к значениям L-функций Гекке
L(s)=Z%(a)N<1-,
VI. Вторая вариация, § 6 59
где х - характер Гекке идеалов поля k. Последнее означает, что в поле k
существует такой идеал f ("кондуктор" х), что х(й) обращается в нуль
тогда и только тогда, когда а не взаимно прост с f, и что x((a))=ae"f,
если а-целое число поля k и a=lmodf. Здесь е, / - два целых рациональных
числа. Не теряя общности, можно считать, что е = 0, f > 0. Если бы оба
числа е, f обращались в нуль, х был бы "обыкновенным" характером
(конечного порядка), а не настоящим характером Гекке. Ряд L(s) абсолютно
сходится
в полуплоскости Re(s)> 1 +у-
Введем целое число s = b в полуплоскости абсолютной сходимости и положим
a = f-b. Предположим, что а^О,
г
т. е. b^f. Поскольку Ь> 1+у" имеем + 3. Нетрудно
усмотреть, что L(b) является линейной комбинацией с алгебраическими
коэффициентами конечного числа величин ea,b(W)y Еа,ь(х; W), где W
пробегает конечное семейство подрешеток поля k и xei. Поэтому значение
na^~a~bL(b) алгебраично над Q,.
Теорема Дамерелла в полной формулировке утверждает,
1 f
что последний факт верен для всех б^у+^т. е. ft^a+1.
Пользуясь функциональным уравнением для L, ее можно распространить тогда
на все значения Чтобы
завершить доказательство теоремы Дамерелла, нам остается установить, что
в случаях b - а = 1 или 2 величина L(b) выражается через elibi Е*а,ъ(х),
аналогично случаю абсолют-
f
ной сходимости. Так как определение L(b) для
требует аналитического продолжения ряда L(s), конструкция которого была
одним из высших достижений Кронекера в описываемой нами области, этот
вопрос удобнее рассмотреть в одной из следующих глав.
часть вторая Кронекер
глава VII
Прелюдия к Кронекеру
§ 1. Кронекер родился в 1823 г., как и Эйзенштейн; оба учились в Берлине
в одни и те же годы. В 1847 г. Кронекеру пришлось покинуть Берлин ради
деловых интересов семьи; к тому времени, когда он вернулся в столицу и
поселился в ней постоянно, Эйзенштейн уже умер.
Первые признаки пробуждающегося интереса Кронекера к эллиптическим
функциям относятся к 1853 г. (Werke, т. IV, стр. И). Здесь Кронекер
ограничивается замечанием, что его теорема об абелевых расширениях поля Q
обобщается на гауссово поле Q (i) с помощью лемнискатических
эллиптических функций. Нет сомнения, что Кронекер тогда изучал кроме
Абеля работу Эйзенштейна о точках деления лемнискаты. Однако эта работа
(и даже большая статья Эйзенштейна 1850 г.) основывалась на формулах и
обозначениях Абеля и не была прямо связана с идеями работы Genaue
Untersu-chung 1847 г., которые мы описали в гл. I - IV.
В 1856 г. Кронекер распространяет свои исследования уже на общий случай
эллиптических функций с комплексным умножением (Werke, т. IV, стр. 179, и
т. V, стр. 419). Он работает полностью в обозначениях Якоби, которым
остался верен навсегда.
В 1863 г. (Werke, т. IV, стр. 222) Кронекер, под влиянием работ Дирихле,
вводит новые функции
e2ni (гц+sv)
(а\к2 + 2 b\*.v + cv2)1+p
64 Часть II. Кронекер
и их пределы при р = 0. В обозначениях предыдущих глав эти функции можно
записать в виде
X' %(w) (ww)~l~p, (1)
w е W
где х - характер аддитивной группы W. Именно в этой статье Кронекер
впервые формулирует частный случай своей "предельной формулы" и выводит
из него решение уравнения Пелля (т. е. вычисляет некоторую единицу
вещественного квадратичного поля) с помощью эллиптических функций.
§ 2. Спустя двадцать лет, после нескольких обрывочных публикаций на эти
темы, Кронекер решил, наконец, изложить свои результаты систематически в
серии статей, которые должна была опубликовать Берлинская Академия. Эти
статьи, под общим заголовком "Zur Theorie der elliptischen Funktionen",
выходили в 1883, 1885, 1886, 1889 и 1890 годах. В 1891 г., последнем
перед смертью Кронекера, заголовок был изменен (без видимых причин) на
"Die Legendre'sche Relation". В этих статьях Кронекер в основном
занимается различными рядами. В наших обозначениях все они могут быть
записаны в виде
X %(w)(x + w)a\x + w\~2s, (2)
wzeeW
где а^0 - целое число. Кронекер изучает их поведение при х = 0 и вблизи
