Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
в формулу сложения (10) § 2 и выразив Ех в этой формуле через <р с
помощью (11) § 3. Результат можно записать в виде
w '"едайг =w1о* - ¦Ы*+*'"¦
Поэтому функции под знаком логарифмической производной в обеих частях
могут различаться только множителем вида f(x'). Чтобы вычислить этот
множитель, рассмотрим разложения вблизи х = 0 и сравним члены с х~2. Они
равны соответственно ф(х')_1х_2 и х-2, так что f(x') = ф(х')-1. Поэтому
Xg+gsM-EM-Etlx + V. (32)
Более симметричное тождество получилось бы, если бы заменить здесь х' на
х' - х. Можно также выразить ф через Хд или 0. Оставив эти возможности в
стороне, рассмотрим лишь случай, когда 2х лежит в решетке периодов W. При
х е W обе части (32) имеют полюс в точке х. Поэтому следует положить х =
w/2, где w = \хи + vv 2 W. Поль-
зуясь формулой (20) § 5 и заменив х' на х - w/2, находим, что E2(w/2)-
Е2(х) отличается от функции
/ \ -2 ( w\2 ( 6vx \
ф) <р(*-т) е( -)
множителем, не зависящим от х. Сравнивая разложения обеих частей вблизи х
= 0, получаем, что этот множитель равен - ф(ку/2)2. Поэтому
(____W_\
(Е,(х)-Е, ("/2))й=-у I' (33)
IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 11 43
где ветвь корня слева определяется тем, что ее разложение вблизи х = 0
начинается с х~К
Подставив в формулу (33) w'l2 вместо х, где w' е W, w'^2W, мы
обнаруживаем, что величины
(Е2 (w'J2) Е2 (ш/2))1/г
выражаются через величины <р(ю/2), или, что то же самое, ввиду формулы
(20) § 5, через величины ф (¦?¦)" ф ("§")'
ф("~У~)' (r) свою очередь формула (15) § 3 позволяет выразить последние
через T(q,z) для z=-1, z = q'!\ z= - q'k соответственно. Легкие
вычисления приводят к следующему результату. Положим
а, = ?2(?), a2 = ?2(f), а3 = Е2(^-),
bx = a3-a2, b2 = ax - а3, Ь3 = ах - а2.
Применим формулы (28), (29), (30) из § 9 и заметим, что их произведение
приводит к тождеству
Т\ Т2Т3 = P(q)3 = Т0.
Тогда из (33) следует, что
bx = ^fq'hTx\ b2=^Tl h = ^Tl (34)
§ 11. Напомним теперь, что формулу (8) § 2 можно записать в виде
Е\ = (Е2 ~ е2)3 ~ 14 (Е2 - е2) - 35е6. (35)
Правая часть является многочленом от Е2. Его корни Эйзенштейн вычислил,
заметив, что Е3-нечетная периодическая функция, так что
я, (*)-*, (-*)-* (f)-o,
если w е W, w<?2W. Следовательно, ах, а2, а3 суть корни правой части
(35). Поскольку ЪХФ 0, отсюда следует, что
Е3 = (Е2 а,) (^2 а2) (Е2 а3).
Дискриминант кубического многочлена справа поэтому равен {bxb2b3f =
4(15е4)3-27(35е6)2.
44 Часть I. Эйзенштейн
Для удобства и по традиции эту величину умножают на 24 и получают
классический "дискриминант" А. Из доказанных формул следует, что
Здесь е4, е6 и тем самым А зависят только от решетки периодов W.
Следовательно, в формуле преобразования (25) функции г) множители ел
являются корнями из единицы степени 24. Вместо А мы будем при
необходимости писать A(W') или А(и, о).
А = gf _ 27 g23 = 243352 (20е3 - 49е2) =
(36)
глава V
Первая вариация
§ 1. Основные темы Эйзенштейна, удачно обработанные, допускают множество
интересных вариаций. Как мы уже указывали (гл. I, ср. также гл. II, § 5),
многие из лучших работ Кронекера состоят из таких вариаций, хотя,
разумеется, Кро-некер не мог не добавить к разработке эйзенштейновских
мотивов и своих собственных тем. Последние будут обсуждены в гл. VII и
VIII. В этой и следующей главах мы по-прежнему не будем слишком отходить
от идей Эйзенштейна. Чтобы показать их широту, мы включим доказательство
одного важного результата Р. М. Дамерелла1), в свою очередь послужившего
отправным пунктом для недавней работы М. М. Ви-шика и Ю. И. Манина2).
Одно из достоинств подхода Эйзенштейна состоит в том, что он
непосредственно (без обращения к теории функций комплексных переменных)
доставляет много тождеств с эллиптическими функциями в той явной форме,
которая удобнее всего для теоретико-числовых приложений. Начнем с
нескольких дополнений к формулам, уже полученным в гл. III и IV.
Подставив в формулу (7) гл. IV, § 2 разложения в степенные ряды функций
Е2, Е4 из формул (10) гл. III, § 7, мы получаем следующую рекуррентную
формулу для
4) R. М. Damerell, Acta Arithmetica, 17 (1970), 287.
2) Матем. сб., 95 (1974), 357-383.
46 Часть I. Эйзенштейн
коэффициентов е2т:
- 3) (4т2 - \)е2т =
т-2
= (2г - 1) (2т - 2г - 1) е2ге2т-2г (т > 4). (1)
г=2
Из нее видно, что все е2т при т ^ 2 лежат в кольце Q [в4, вб].
Аналогично, подставив степенные ряды для Ей Е2, ?3 в формулу (9) гл. IV,
§ 2, получаем
т
^1Г = т(2т + 3) е2т+2 ~mYj e2^2m-2r+2 (т > 1). (2)
Г = 1
Индукция по Я показывает, что
(-?-/ е 2 [б2"64 в2т+2^
для всех m ^ 1 и
§ 2. Из теории аналитических функций следует, что любая мероморфная
функция с решеткой периодов W, не имеющая полюсов вне W, должна быть
линейной комбинацией функций ЕПу п ^ 2, и единицы: это легко вытекает из
теоремы Лиувилля. Значит, любой многочлен от E2i ..., Еп представим в
таком виде. Последний результат можно непосредственно получить методами
Эйзенштейна. Рассмотрим сначала функцию ЕтЕп, т ^ 3, п ^ 3. Это
