Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
произведение можно вычислить, подставив р = х + w, г = w', q = -х - w +
w' в тождество (2) гл. II, § 2 и затем применив суммирования Ye по w и Yj
по w'. Так как т, п ^ 3, все ряды абсолютно сходятся, если исключить
члены справа, отвечающие значениям h = т-1 и h = т - 2, а также k = п - 1
и k = п -2; чтобы просуммировать их, нужно применить формулу (5) гл. III,
§ 4. В результате получим
(-1)" (ЕтЕп - Ет+п) =5(а+^-1) Е*-#п+н +
+ (-1)" ? (-1)* ( т + kb ~ 1 ) Еп-кет+к+ | ,
k=0 \ К /
где С - некоторая константа. Если г нечетно, то ег =0; следовательно, во
второй сумме ненулевыми могут быть лишь члены с (-l)k =(-l)m. Как и
следовало ожидать, вклады
V. Первая вариация, § 2 47
от Е\ взаимно сокращаются. Разложим это тождество в окрестности х = 0,
приравняем свободные члены и вычтем их из исходной формулы. Результат
примет более удобный вид:
СЕщ &т) СЕп ^п) СЕт+п ^т+п) =
Эта же формула оказывается верной при т = 2, п ^ 2. Для проверки можно
воспользоваться методом гл. IV, § 1, т. е. сначала вывести аналогичную
формулу для функций еп, а затем уже перейти к Еп. Еще проще подставить х,
-х-t и -t вместо х, х', х" в формулу (3) гл. IV, § 1, разложить обе части
по t в окрестности / = 0 и сравнить эти разложения. При т = п = 2 снова
получится формула (7) гл. IV, § 2. Разумеется, теория аналитических
функций приводит к тем же результатам.
Заметим, что е2 входит в (3) только в комбинации Е2 -е2. Положив в (3) т
= 2, мы можем рассматривать (3) как индуктивную формулу, выражающую Еп+2
через Е2 -е2 и функции Ет с 3 ^ т ^ п, при помощи которой в конечном
счете Еп+2 выражается через Е2 -е2 и Я3, с коэффициентами из Z[e4, е6,
е8, С другой стороны, эта формула показывает, что функции 1, Е2 - е2, Е3,
Е4, ... составляют базис в кольце, порожденном Е2 - е2 и Е3 над Z[e4, е6,
е8, ...].
Заметим еще, что функции Е2 - е2 и Еп для /2^3 и величины е2ш при т ^ 2
зависят только от выбора решетки W, но не от ее образующих и, v. Удобно
положить
Тогда тождество (1) показывает, что поле частных кольца Z [e(W)\
совпадает с Q(e4, е6), а тождество (3) показывает, что E(W) составляет
базис кольца Z[e(W), E(W)] над Z[e(W)]. Иногда по типографским
соображениям мы будем писать ew, Ew вместо e(W)i E(W), а также просто в и
?, если рассматривается фиксированная решетка W. Обратим внимание
читателя на то, что в этих обозначениях е2 не лежит в Q(e), а Е2 не лежит
в Q(e,E).
т-2
= (-irZ { h~ )en+fl{Em-h-em-h) +
+ ("1)m Z ('^+ X~ 1 ) ~ +
(3)
48 Часть I. Эйзенштейн
§ 3. Формулы гл. III, § 8 в качестве частных случаев содержат формулы для
умножения и деления аргумента эллиптических функций. Возьмем в качестве
(а, Ь, с, d) матрицу (N, О, О, N), где N > I - любое целое число. Тогда
W' = NW, и в качестве R можно взягь множество, состоящее из элементов
вида r=p"+vy с 0 ^ ц, v < N. Из формул (12) и
(13) гл. III, § 8 находим, что при всех п ^ 2
2 Еп (х + П Nu, Nv) = Еп (х; u, v).
re=R
Поскольку функция En однородна степени -" по u, v, это дает
? Еп{^) = NnEn{x). (4)
restf
(Мы опустили и, v для краткости.) Это-формула деления для функций Еп.
Формула умножения получится, если подставить сюда Nx вместо х.
Важно заметить, что при п = 2 число слагаемых в левой части (4) равно N2.
Поэтому формула останется верной, если заменить Е2 на Е2 - е2.
Возьмем теперь любой элемент F кольца Z [е, Е]. Как мы показали в § 2,
его можно разложить по базису E = E(W) с коэффициентами из Z[e\.
Поскольку каждый элемент этого базиса удовлетворяет формуле типа (4), это
показывает, что
сумма ^ F ( х~^г ) всегда лежит в кольце Z [е,Е]. Для
ге/?
каждой данной F ее можно вычислить явно с помощью (4). Применив этот
результат к степеням Fm с 1 ^ т <^. N2, мы
заключаем, что функция F и все ее сдвиги )
с w е W алгебраичны над полем Q(е,Е) и целы над кольцом Q [е,Е]. Изучение
теми же средствами группы Галуа расширения Q(e, Е), порожденного
элементами вида F >
завело бы нас слишком далеко. Как заметил уже Якоби в связи с работами
Абеля, это потребовало бы введения резольвент Лагранжа для абелевых
расширений поля С(е,Е),
порожденных функциями Мы уже упоминали о них
в конце § 5 гл. II. Более общие функции будут изучены в гл. VIII/
V. Первая вариация, § 5 49
§ 4. Вычтем из обеих частей тождества (4) член (N/x)n и положим х = 0.
Получим
I En(r/N) = (Nn-l)en. (5)
ГЕ/i'
Мы знаем, что еп = 0 при нечетных п; как выше, здесь R'=R- {0}. При п = 2
эту формулу можно переписать в виде
I (E2(r/N)-e2) = 0. (6)
rsJ?'
Возьмем снова любой элемент F кольца Z [в, ?]. Действуя, как в §
3, мы обнаруживаем прежде всего, что сумма
ZF(r/N) по всем г ^ R' лежит в Z[e], а также что значе-
ние F(w/N) для любого до е W \ NW алгебраично над полем Q(e) и цело над
кольцом Q[e].
§ 5. Теперь, как в гл. III, § 5 и 8, рассмотрим общее "преобразование"
/а Ь\
(и' v') = (u dJ (7)
с определителем N= ad - be. Положим и" = Nu, v" = Nv и обозначим через W,
W', W" решетки, порожденные (и, и), (u',v') и (u",v") соответственно.
