Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
целое число ^\х\, то
ехр[-/(х + р)2] • |* + p|a<exp(- tn2) • (п-\-2М)
при р > Л1, п = р - М, а также при р < - М, п = - р - М. Пользуясь этим,
нетрудно убедиться, что интеграл /оо абсолютно сходится для всех значений
5, равномерно в любой ограниченной области 5-плоскости. Следовательно, он
представляет целую функцию от 5.
70 Часть II. Кронекер
Для вычисления /0 воспользуемся хорошо известной формулой преобразования
тэта-ряда:
уГ exp [- t (х + р)2 - 2ni\iy] (х + \i)a = м-
= Г"е (ху) (-у) ?ехр[- ^-(y-\-vf-\- 2шЧ>л;] (г/+ v)°. (12)
V
Ее нетрудно получить суммированием по Пуассону или, что то же самое,
разложением в ряд Фурье правой части (12), периодичной по у с периодом 1.
Можно также применить суммирование по Пуассону при а = 0, а затем,
дифференцируя по х, получить формулу (12) при а= 1.
Применим это тождество к подынтегральному выражению в /0 и сделаем замену
переменной t = п2/и. Получится интеграл, подобный I оо, и, возможно, два
дополнительных члена, отвечающих р = -х в левой части (12), если х -
целое число, и v = -у в правой части (12), если у - целое число.
Поскольку мы предположили, что Re (5) > а 1 , эти члены
(которые могут появиться лишь при а = 0) можно проинтегрировать
непосредственно. Окончательный результат выглядит так. Выделяя явно
параметры, определяющие /оо, будем записывать этот интеграл в виде 1оо(Т,
х, у, a, s) и положим
/м=/те(-^г, у, -х, а, а - s + y)* (13)
Вместе с /", это тоже целая функция от s. Положим 8 = 1, если х - целое
число и а = 0; в противном случае 8=0; аналогично, пусть е'= 1, если у -
целое число и а=0, и е'=0 в противном случае. Тогда
Г (s) Sa (х, у, s) = Ioa-\- rans а к е (ху) iL -
Т$ TS - V2
- *е(ху) - + в'Уя . (14)
Эта формула показывает, что левая часть мероморфно продолжается на всю s-
плоскость, а полюсы ее могут быть в точках s = 0 и s = V2. Определив
функцию Sa{x,y,s) с помощью формулы (14) для всех s и положив Т = я, мы
можем непосредственно проверить справедливость функционального уравнения
Г (s) Sa (х, у, s) =
= rans~a~l2e(xy)r(a - s + '/2)Sa(y,-x, a- s + Vz). (15)
VII. Прелюдия к Кронекеру, § 8 71
При рациональных значениях х и у оно, по существу, эквивалентно
функциональным уравнениям для L-рядов Дирихле.
§ 8. В § 4 мы установили, что правая часть (10) сходится в обычном
смысле, если у не целое число и Re(s)>a/2. То же рассуждение показывает,
что сумма голоморфна по 5 и потому совпадает с Sa{x,y,s). Разумеется,
если бы мы не могли установить голоморфность суммы (в обычном смысле
слова или по Эйзенштейну), последнее утверждение могло бы оказаться
ложным. Рассмотрим несколько особенно интересных частных случаев.
Начнем с функции Si(x, 0, У2) при нецелых х. Формально она определяется
рядом ? sgn (х + р), суммирование по Эйзенштейну которого приводит к
значению 2[х]+1 (ср.§ 4). С другой стороны, уравнение (15) показывает,
что
Si(x, о, 72) = -L5l(0) 1).
Правая часть здесь, как мы только что заметили, определяется рядом в
точке его обычной сходимости и потому может быть вычислена по формуле
(7). Поэтому
М*, 0, у2) = 2 < х) 1=1 2 (х), (16)
где мы, как принято, положили {х) = х - [х] ("дробная часть" х).
Поскольку Г (5) имеет полюс в точке 5 = 0, формула (14) показывает, что
Sa(x, у, 0) = 0, за исключением случаев, когда а = 0 и х - целое число.
Вычислим dS0(x> 0, s)/ds при 5 = 0. Представив Г(5) в виде 5-1Г(5+1),
получаем с помощью (15) следующее разложение вблизи точки 5=0:
so(x, о, s) = S S) До,-*, y-s) =
= sS0(0, - x, У2) + ... .
Как выше, значение S0(Of-xf1/2) при нецелых х определяется сходящимся
рядом
оо
- ОО
Можно непосредственно установить, что это - ряд Фурье для функции log 12
sin яя |-2. Следующий способ, возможно, поучительнее. Положим f(x) =
S0(0, -х, V2); из написанной формулы ясно, что /(V2) = -2 log 2. В
области абсолютной
72 Часть II. Кронекер
сходимости ряд для S0(x, 0, s) можно дифференцировать почленно. Это дает
формулу
?s0(x, 0, s) = -2sS1(x, 0,5+1),
которая, по свойству аналитического продолжения, должна быть верна для
всех s. Дифференцируя ее по s и полагая 5 = 0, находим df/dx = -2Si(*,
0,1). Функция Si (я, 0,1) формально определяется рядом ?(х + ц)-1.
Суммируя его по Эйзенштейну, получаем я ctg тех. Для проверки того, что
это и есть Si(x, 0, 1), заметим, что обе функции нечетны по х. Более
общо, функция Sa(x, 0, s) четна по х при а= 0 и нечетна при а = 1. С
другой стороны, дифференцируя ряд для Si (я, 0, s) почленно в области
абсолютной сходимости и затем пользуясь аналитическим продолжением, мы, в
точности как для S0(x,0,s), находим, что dS\ (х, 0, \)/dx = = -So (х,
0,1), причем последняя функция задается абсолютно сходящимся рядом -2(я +
М')-2* Таким образом, Si (я, 0, 1) и ttctgnx могут отличаться только на
аддитивную константу, и так как обе они нечетны, они совпадают. Поэтому и
f(x) может отличаться от log 12 sin ях|"2 только на аддитивную константу,
а так как значения этих функций совпадают при х = 72 и они периодичны с
