Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
точки 5 = 1+|г (где они перестают сходиться).
Ум Кронекера был, однако, слишком живым и беспокойным, чтобы позволить
ему сосредоточиться на систематическом изложении одной темы. В юношеские
годы Куммер и Дирихле уже предостерегали его от связанных с этим
опасностей. Его студенты привыкли к постоянным отступлениям, когда
Кронекер начинал рассказывать о том, что пришло ему на ум вчера вечером.
В академической серии он часто перескакивает с одной темы на другую или
возвращается к более ранним результатам и доказательствам, чтобы улучшить
их. Его статья 1886 г. (Werke, т. IV, стр. 389-470), по видимости
входящая в основную серию, не имеет к ней никакого отношения и посвящена
чисто алгебраическим и теоретикочисловым исследованиям формул умножения и
деления эллиптических функций. Именно в ней он доказывает свои знаменитые
сравнения, сыгравшие фундаментальную роль в арифметической теории
комплексного умножения,
VIГ. Прелюдия к Кронекеру, § 3 65
Эйзенштейн явно гордился совершенно элементарным характером своих
теоретико-функциональных методов. Напротив, Кронекер пользовался целым
арсеналом мощных технических средств: "суммированием Пуассона" (в
действительности открытым Коши), теорией вычетов Коши, теорией рядов
Фурье по Дирихле и, что важнее всего, формулой Дирихле (по существу,
совпадающей с нашим преобразованием Меллина)
(Т,ае~м) **"' dt>
о
которую (следуя Дирихле) он предпочитал записывать в виде
+р) Z S (Еа*л) (1оет)р d(l°s^)-
о
Современный аналитик мог бы добавить к этому немногое: понятие
аналитического продолжения (которое Кронекер знал, но предпочитал им не
пользоваться) и более свободное использование рядов Фурье, ставшее
возможным благодаря теории распределений.
Очевидно, ряды Кронекера представляют собой естественное обобщение рядов
Эйзенштейна. Вводя непрерывный параметр р (или, в обозначениях Римана и
современных, s), он следовал Дирихле. Можно отыскать прецеденты и для
появления характера %. Работая со своими рядами вне их области
сходимости, Кронекер также часто пользуется "суммированием по
Эйзенштейну". Однако до 1891 г. он ни разу не упоминает статьи
Эйзенштейна 1847 г. Только в конце, работая над своей последней статьей
для Берлинской Академии, он осознал, насколько близок был к идеям его
товарища юношеских лет. Нам остается лишь гадать, какие чувства
сопровождали это открытие. Успей он написать свою лекцию об Эйзенштейне,
обещанную Кантору (ср. выше, гл. I), мы, вероятно, знали бы больше.
§ 3. Как до него Эйзенштейн (ср. гл. II), Кронекер обнаружил, что для
изучения двойного ряда типа (2) следует сначала разобраться в
соответствующих простых рядах. Более того, оба случая требуют аналогичной
техники. В конечном счете Кронекер посвятил таким простым рядам
значитель-
ные части двух статей (Werke, т. V, стр. 267-294 и 327- 342). Его
результаты здесь были во многом предвосхищены Липшицем, что он сам
отмечает (ibid., стр. 330). Имеются
66 Часть II. Кронекер
очевидные связи между такими рядами, L-функциями Дирихле и дзета-функцией
Римана (или, скорее, Эйлера). Поэтому не удивительно, что целый ряд
авторов занимался этой темой в XIX веке: Липшиц еще в 1857 г., Гурвиц в
1882, Лерх несколько позже, под влиянием работ Кронекера. В конце этой
главы собрана краткая библиография.
Положение историка осложняется еще тем обстоятельством, что суммирование
этих рядов по Пуассону (для комплексных значений аргумента) приводит к
функциям Бесселя, теория которых уже во времена Кронекера была
значительно развита. Тем не менее даже в наши дни некоторые из авторов,
работавших в этой области, либо не замечали, либо не отмечали появление
бесселевых функций и довольствовались прямой проверкой нескольких нужных
им элементарных свойств.
Мы не будем пытаться здесь распутать все ходы мысли. В этой главе мы
займемся простыми рядами в качестве подготовки к описанию работ Кронекера
о двойных рядах (2).
§ 4. Символом % в этой главе будет обозначаться некоторый характер группы
Z. Обычно мы будем записывать его в виде
Ц1-"Х(и) = е(- цу),
где jgR. Часто будет удобно считать, что 0^у< 1. Рассмотрим ряд
Sa (х, У, s) = 2Г (х + ц)" | х + ц f2s е(- \iy), (4)
|Л
где а^О - целое число, у вещественное, х и s комплексные, a X* означает
суммирование по всем целым \хф-х (т. е. по всем целым, если х не целое).
Этот ряд абсолютно сходится тогда и только тогда, когда Re (5) > ---у-- .
Кронекер
(а до него Липшиц) заметил, что при %ф1 и Re(s)>~ ряд
все еще сходится, хотя и не абсолютно. Действительно, записав общий член
(4) в виде f (fx) % (fx) и положив
п
оп = X X (и),
|л=0
получаем с помощью формулы Абеля "суммирования по частям":
Z f (|*) хО*) = f (N) aN-f( 1) + z' U (n)-f(n + 1)] <v (5)
|Л = 1 n = 1
VII. Прелюдия к Кронекеру, § 4 67
Поскольку величина |<тя| ограничена при всех п > 0.
С другой стороны, для больших п величины n2s~af (п) и n2s~af(n + 1) можно
разложить в степенные ряды по п~х% оба начинающиеся с 1. Поэтому величина
