Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
Положим fA = e[ - &~4е4; эта величина отлична от нуля. Из результатов § 5
следует, что /4 алгебраичен над Q(e4, е6), так что существует
нетривиальное соотношение F (/4, е4, е6) = 0 с рациональными
коэффициентами. Его можно записать в виде f(tm)G (/4, е4, е6) = 0, где
52 Часть I. Эйзенштейн
G - некоторый многочлен с рациональными коэффициентами, не делящийся на
/4. Так как !4Ф0, имеем G(f4, е4, е6) = 0 для любой решетки W. Поэтому
если для какой-то решетки /4 = 0, то для нее выполняется нетривиальное
соотношение вида G(0, е4, е6) = 0. Учитывая, что еАу е6 однородны по и, и
степеней соответственно -4 и -6, получаем, что величина е\е~2 либо равна
оо, либо алгебраична над Q.
§ 8. Как мы уже убедились, решетка W, допускающая комплексное умножение
на со, должна иметь вид uWu где Wi - некоторая подрешетка в k = Q (со).
Очевидно, при фиксированном k все такие решетки соизмеримы, и к ним можно
применить результаты § 5 в сочетании с результатами § 7. К этому мы и
перейдем.
Пусть k-мнимое квадратичное поле с дискриминантом - т. Обозначим через Q
кольцо всех целых чисел поля k% Это - решетка, и все подрешетки в k
соизмеримы с ней. Выберем в Q базис вида (1, т0). Можно считать, что
1т(т0)>0; кроме того, Re(x0) = 0 или =1/2modi в зависимости от четности
или нечетности т. Следовательно, число qQ = e{x0) вещественное; оно >0
или <0 в зависимости от четности или нечетности т.
Согласно формуле (36) гл. IV, § И, имеем
A (Q) = А (1, т0) = _ Bel = (2Щ20)12,
(8)
Г)0 = <7Г П (1 - qf), а = 263353, В = 24335272.
/1 = 1
Дискриминант A (Q) веществен и имеет тот же знак, что и qQ.
Удобно ввести величину
S = 2я | Чо |2 = 2я | q01'/" П (1 - q%f. (9)
П = 1
Она зависит только от k, т. е. от т., и мы будем обозначать ее 0И, когда
нужно отметить эту зависимость явно.
Имеем A(Q) = d=ai2. В § 7 было установлено, что число е\е~2 алгебраично
над Q. Вместе с (8) это показывает, что числа е4а-4 и е6а-6 алгебраичны
над Q, или, что то же самое, числа е4(ай) и е6(ШО) алгебраичны над Q.
Пусть W1 - некоторая подрешетка в k. Так как она соизмерима с ?2, решетка
SUFi соизмерима с SQ. Результаты § 5 показывают, что для всех tn ^ 2
числа е2т (ЗЦ70 алгебраичны над Q. Более общо, пусть W - любая решетка,
V. Первая вариация, § 8 53
допускающая комплексное умножение на со е ?2, с образующими и, v. Как мы
убедились, решетка W\ = u~lW содержится в k\ в частности, vju е k. С
другой стороны,
е2 m(W) = rn)2me2mml).
Таким образом, для любой решетки с комплексным умножением на со е Q все
числа
e2m(W) (m> 2)
алгебраичны над Q. В частности, если e4(W) и e§{W) алгебраичны над Q, то
этим же свойством обладают числа 9-1да для всех Kief.
глава VI
Вторая вариация
§ 1. Как мы убедились в гл. IV, метод Эйзенштейна позволяет
непосредственно изучать производные dEn/dv, denfdv по образующей v\ это
одно из его достоинств. С помощью результатов гл. III, § 5 можно затем
поменять местами и и и, получив таким образом производные по и.
На этом этапе удобно позаимствовать кое-что из техники Кронекера и ввести
в теорию вещественно аналитические функции, кроме комплексно
аналитических. В этой главе мы будем пользоваться ими довольно формально,
в основном рассматривая многочлены от комплексно сопряженных величин х,
й, v к х, и, у, коэффициенты которых комплексно ана-литичны по х, и, v. В
результате получатся формулы, с которыми удобнее работать. Причины этого
вскоре станут ясны.
Как принято в вещественно аналитической теории, мы формально
рассматриваем х, и, v, x,a,v в качестве независимых переменных и
соответственно понимаем частные производные; применяя д/дх, д/ди, d/dv к
функциям, которые полиномиальны или рациональны по х> й, v, мы
рассматриваем эти последние величины как константы.
Введем дифференциальный оператор
Рассмотрим любую однородную функцию / степени-п от х, и, v (например,
Еп). Имеем
df . df . df
VI. Вторая вариация, § 2 55
Следовательно, df/du и ?Df можно выразить через f, df/dx, df/dv.
Поскольку uv - vU ф 0, можно также выразить df/du, df/dv через /, df/dx и
2Df. Преимущество оператора 3>, разумеется, в том, что он инвариантен
относительно группы GL(3, R), т. е. относительно любой линейной замены х,
и, v. В этой главе мы будем систематически использовать 3> вместо d/dv.
§ 2. Сохраним прежние обозначения; в частности, как в гл. Ill, § 1, будем
писать
uv-vu = б ии (т - т) = - 2т б А, А > 0. (3)
Очевидно, 3)А = 0.
Поскольку числа и, v образуют базис С над R, мы можем разложить л; по
этому базису: х = аи-\- fiv, где а, р вещественны. Иногда мы будем
обозначать коэффициенты этого разложения а(х), Р(х). Имеем х = ай + ри,
так что
Рассмотрим, кроме Еи функцию
Е\{х)=Ех(х)+^ Р(х). (4)
Она не комплексно аналитична по х, но этот "недостаток" компенсируется
периодичностью относительно W, которая очевидна из формулы (5) гл. III, §
4.
Далее, формула (7) гл. III, § 5 показывает, что при любой замене базиса
решетки W к функции Е\(х\ и, v) добавляется лишь линейный член.
