Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда W' имеет индекс \N\ в W, a W" имеет индекс |А^| в W'. Обозначим
через S некоторую систему представителей для W'/W" в W'f содержащую нуль,
и положим S'= S-{0}.
Будем обозначать через е2т, е'2т, е"т числа е2т{и, v), earnin', v') и
е2m(u",v") соответственно. Так как е2т однородна степени -2т по и, v,
имеем е2т = N~2me2m. Формула (15) гл. III, § 8, примененная к решеткам
W', W", дает (с учетом однородности Е2т)
N2me'2m=e2m+ Е E2m(s/N) (т>2).
ssS'
В силу результатов § 4, это показывает, что функция е'2т цела над Q[e].
Аналогично, е"т и тем самым е2т целы над Q[e']. Более общо, пусть , W2 -
две "соизмеримые" решетки. Это означает, что их пересечение имеет в
каждой из них конечный индекс, или, что то же самое, Q Wx =Q W2. Применив
доказанное только что утверждение сначала к W! и W3, а затем к W2 и W3,
получаем, что кольцо Q[e(H71)> e(W2)] цело как над Q[e(lFi)], так и над
Ч[е(1^2)]. Объединяя это замечание с результатами § 4, убеждаемся, что
для любого
60 Часть I. Эйзенштейн
элемента F из базиса E(W2) или всего кольца Z[e(HP2), E(W2)] значения F
во всех точках из QU^2, не лежащих в W2t целы над кольцом Q [е 0].
Выберем снова W и W', как выше, и возьмем любой элемент F базиса E(W').
Если F = En(x; и', v'), п^З, то, согласно формуле (13) гл. III, § 8,
имеем
? F(x + r) = En(xi и, v).
r^R
Если F=E2(x\u\ у')- е2{и\ v'), аналогичный результат получается путем
вычитания из тождества (12) гл. III, § 8 тождества (14) той же главы:
? F(x+r) - ? F(r) = E2{х; и, v) - e2(u, v).
r^R r^R'
Обозначим через f2 вторую сумму слева. Она дела над Q[e(U7)]. Выберем
теперь произвольный элемент F кольца Z[e(H7'), E(W')] и разложим его по
базису E(W'). Наши формулы показывают, что сумма + по всем r^R яв-
ляется линейной комбинацией f2 и элементов базиса E(W) с коэффициентами
из Z[e(W')]. Поскольку это рассуждение применимо ко всем степеням Fm
элемента f, а /2 и e(W') целы над Q[e(U7)], мы нашли, что F(x) и все
сдвиги F(x-\-w) с w е W целы над кольцом Q[e(W), ?(1F)].
§ 6. Эйзенштейн замечает, чго особенно интересный случай возникает, когда
W' = со 117, где со е Сх. Тогда W' порождена образующими и' = со и, и' =
сод, и со является характеристическим корнем линейного преобразования
(7). Очевидно, что если со вещественно, то соW может быть подрешеткой W
лишь в случае, когда со - целое рациональное число. В противном случае со
должно быть целым числом некоторого мнимого квадратичного поля, и мы
говорим, что W допускает комплексное умножение на со. Это явление было
открыто Абелем. Положив, как раньше, N= ad- be, находим, что N = сою > 0.
Если col?7 = W, N = 1, то со должен быть либо корнем четвертой степени из
единицы (так называемый "лемнискатический" случай), либо корнем шестой
степени из единицы. В той мере, в какой дело касалось прямых
арифметических приложений его теории, Эйзенштейн в основном интересовался
этими двумя случаями и применил свои результаты к выводу законов
взаимности для четвертых и шестых степеней. Эту сторону его работы мы не
будем обсуждать здесь.
V. Первая вариация, § 7 51
Положим, как выше, т = 8v/u. Если W допускает комплексное умножение на
со, обозначим через и', v' соответственно cot/ и соу. Пара (и', z/)
связана с (tt, с;) линейной подстановкой (7). Имеем тогда т= 8v'/u' и со
= а + сбт, так что т лежит в поле & = Q(co). Далее, W = uWu где решетка
Wi порождена числами 1 и т и, значит, содержится в &. Наоборот, пусть W-
такая решетка, что v/u^k. В таком случае Аи2 -\-Buv + Cv2 = 0 для
подходящих целых рациональных чисел А, В, С, и W допускает комплексное
умножение на о = Cv/u.
§ 7. Теперь мы покажем, что если решетка W допускает комплексное
умножение, то число е\е~2 алгебраично над Q; сюда формально относится и
"лемнискатический случай", для которого е6 = 0, со = i.
Заметим прежде всего, что любая решетка W однозначно характеризуется
своими "инвариантами" e4{W), eG(W). Действительно, как мы убедились в гл.
IV, § 2, функция f = = Е2-е2 удовлетворяет дифференциальному уравнению
у'2 = 4у3 - 60 е4у - 140е6.
Поскольку любое решение этого уравнения можно представить в виде y=f{x +
c) и поскольку ^ - единственное его решение с полюсом в точке х = 0, W
можно охарактеризовать как решетку периодов любого решения либо как
решетку полюсов решения (р. Отсюда следует, что если W' - другая решетка,
a t - любой элемент Сх, то W' совпадает с iW в том и только том случае,
когда
е4 0П = т, Ч (Г') = Г\ (Г).
Следовательно, W' имеет вид t\V для некоторого /^Сх тогда и только тогда,
когда "абсолютный инвариант" е\е~2 принимает для W и для W' одинаковые
значения.
В частности, пусть W и W' связаны, как в § 5. Обозначим через со
некоторое собственное значение подстановки (7) и предположим, что оно не
вещественно. Имеем Wf=a)W в том и только том случае, когда е\ = со-%4, е'
= со_6е6.
Если tt, v произвольны, то, вообще говоря, W' ф соW, так что либо е[ Ф
со_4е4, либо е' ф ю_6е6. Пусть, скажем, выполнено первое неравенство.
