Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
также формулу (4) гл. II, § 2, заменив в ней х у, z на С, С', ?" = ? +
?':
в2 (С) е2 (СО - 82 (С) е2 (П - е2 (СО 82 (С'О = 2е3 (С'О [в, (0 + е,
(СО].
(2)
Теперь подставим в эту формулу ? + vt вместо ?, ?' + (р - -v)t вместо С7
и. следовательно, С" + рт вместо После этого просуммируем обе части по v
по Эйзенштейну, фиксировав р, и, наконец, просуммируем по р. В гл. III, §
6 мы убедились, что ряд (1) абсолютно сходится при п ^ 2. Поэтому
IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 2 33
во всех членах левой части (2) суммировать по v и по р можно независимо;
можно также суммировать по р и р - v или по v и р - v. Следовательно,
переобозначив Х^и, через х, х\ х'\ мы можем записать результат двойного
суммирования левой части (2) в виде
и* [Е2 (х) Е2 (*0 - Е2 (х) Е2 {х") - Е2 (х') Е2 (х'%
С другой стороны, применяя к правой части, получаем
v
2ш3 (Г + рт) [Ех (х) + Ег {х' + 6pv)].
С помощью формулы (5) гл. III, § 5 это выражение можно записать в виде
2 ые3 Г + рт) [?, (х) + Et (х') - .
Суммируя по р первые два члена, находим 2и<Е3(х")[Е1(х)+Е1(х%
Чтобы просуммировать третий член, перепишем его в виде -2ре3(Г + Рт) =
^е2(Г + рт).
В силу формул и оценок гл. III, § 6, ряд по р абсолютно сходится и равен
- 2 J) Ре3 (Г + Рт)=^2 е2 Г + рт).
р р
Теперь будем считать х, х', и, v независимыми переменными и
соответственно будем понимать частные производные. Окончательно, полагая
х" = х + х', находим
Е2(х) Е2 ОО - Е2 (х) Е2 (х") - Е2 (х') Е2 (х") =
= 2Е3 (х") [Ег (х) + Ег (х')] + . (3)
Этот результат аналогичен соответствующим формулам для тригонометрических
функций и рациональных функций, отличаясь от них лишь последним членом.
§ 2. Будем теперь действовать, как в гл. II, § 3. Фиксируем х, не лежащий
в решетке W. Обе части (3) как функции от х' имеют двойной полюс в точке
х' = 0. Разлагая их в ряд Лорана, убеждаемся, что члены с х'~2 и х'~1
обеих частей совпадают. Сравнивая постоянные члены, находим
*р^_=ЗЕ4- 2Е\Еъ - El (4)
34 Часть I. Эйзенштейн
Аналогично, фиксировав х, рассмотрим обе части (3) как функции от х" и
разложим их в ряд Лорана вблизи х" = 0. Сравнение постоянных членов
приводит к тождеству
?, = ?*-2^--^^-. (5)
Положим е2 = dejdv и разложим обе части (5) вблизи х = 0. Получим
*fe'2 = be-e\. (6)
Поэтому формулу (5) можно переписать в виде
Е4=(Е2-е2)2-5е4. (7)
Поскольку d2E2/d.x2 = 6?4, мы получили известное уравнение <р" = -
y2g2 для "функции Вейерштрасса" $ = Е2 - е2,
в котором g2 = 60е4. Интегрируя его (или, как предпочитает Эйзенштейн,
дифференцируя и исключая высшие производные), получаем отсюда уравнение
Вейерштрасса первого порядка для f в его каноническом виде. Эйзенштейн
записывает его (за пятнадцать лет до первых лекций Вейерштрасса на эту
тему) в форме
Е1 = (Е2 ~ *2У ~ 15е4(Е2 -е2)+Щс- е2е4). (8)
Здесь через с обозначена, по его словам, "странная константа"
я/6 де4
С 2и dv
Постоянный член в правой части (8) можно вычислить также, разложив обе
части вблизи х = 0. Тогда для него получится значение -35е6. Если, в
обозначениях Вейерштрасса, написать f'2 = 4- g2$ - §з, это будет
означать, что §г - 140вб.
Другое важное тождество проще всего получить, проинтегрировав обе части
(4) как функции от х. С точностью до постоянного слагаемого, приходим к
соотношению
Ь^^_=Е3-Е1Е2. (9)
Так как обе части (9) являются нечетными функциями от х, эта константа
должна быть нулевой, так что формула (9) верна в том виде, в каком
написана.
Как в гл. II, § 4, мы выводим из (3) формулу сложения для Ей
(Е2(х) - Е2{х')) • (?,(* + х') - ВД - ?,(*')) +
-\-Е3(х)-Е3(х') = 0. (10)
IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 3 35
Для доказательства обозначим левую часть через F(x,x'). Подставим в (3)
вместо х, х\ х" соответственно -х\ х", х и затем воспользуемся формулой
(4) для исключения dE2/dv. Получим
Е2 (х') Е2 (х") - Е2 (*') Е2 (х") - Е2 (х") Е2 (х) +
+ 2?3 (х) (Ех (*') - Ех (*")) - 3Е, (х) + 2Ех (х) Е3 (х) + Е2 (х)2 = 0.
Нетрудно убедиться, что левая часть совпадает с dF/dx, так что F(x,x') не
зависит от х. Так как F меняет знак при перемене местами х и х\ она
должна быть тождественно ну-
§ 3. В полной аналогии со своей теорией тригонометрических функций,
Эйзенштейн вводит затем бесконечные произведения
Чтобы обосновать сходимость, скажем, <р, он замечает, что после
отбрасывания х и конечного числа сомножителей с \w\ \х\ логарифм ф
можно записать в виде
Этот двойной ряд, состоящий только из членов с \w\ >> \х\, при п^З
абсолютно сходится. В случаях п = 1 и п = 2, как было показано ранее,
сумма по Эйзенштейну Ye сходится. Заметим попутно, что эти рассуждения
показывают абсолютную сходимость "канонического произведения
Вейерштрасса"
которое в теории Вейерштрасса определяет a-функцию. Пользуясь тем, что,
согласно предыдущим результатам, Хе&г1=0 и Ya'eW~2 = e2, получаем ф = а •
ехр (-е2х2/2).
Будем писать f(t9x\ и, v) и ф(х; и, v) вместо f(t9x) и ф(я) при
необходимости.
Связь между этими функциями и Ех очевидна: она определяется формулами
