Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, Е\ можно однозначно охарактеризовать как периодическую
функцию с решеткой периодов W, отличающуюся от любой из функций Ех (х; и\
v') на вещественно линейную добавку. Поэтому Е\ зависит только от W7, но
не от выбора образующих и, v этой решетки, и мы можем обозначать ее Е*{х\
W). Более общо, если W' - любая подрешетка W, a R - любая система
представителей W/W' в W' формула (7) гл. III, § 5 после тривиальных
преобразований показывает, что
? ЕХ{х+п W') = EUxi W). (5)
re R
Аналогично, кроме Е2, е2 рассмотрим функции
56 Часть I. Эйзенштейн
Очевидно, они тоже зависят только от W, и El удовлетворяет формуле,
аналогичной (5). Поскольку El отличается от Е2 лишь константой,
дальнейшее дифференцирование по х приведет к прежним функциям Еп. Для
формальной симметрии наших тождеств положим Еп = ?" при всех п ^ 3.
§ 3. Поскольку функция Еу нечетна и периодична, она (как и функция Е3,
ср. гл. IV, § II) обращается в нуль во всех точках l/2W, не лежащих в W.
Далее, отличаясь от Еу лишь линейным слагаемым, она удовлетворяет той же
формуле сложения, что и Еу, т. е. формуле (10) гл. IV, § 2. В последней
формуле мы можем также заменить Е2 на Е2 - е2, с тем чтобы применить
результаты гл. V, § 4. Введем теперь функцию f на QIV, положив f(w) = 0
для всех w&W и }(х) = Е*(х) для всех xeQIV, не лежащих в W. Тогда формула
сложения, объединенная с результатами гл. V, § 4, показывает, что число
f(х + х') - f (х) - fix') алгебраично над Q(e4, е6) для всех х, / eQW.
Поскольку f обращается в нуль на l/2W, отсюда следует, что значения f и
тем самым также значения Е\ алгебраичны над Q(e4, е6) во всех точках QIV,
не принадлежащих W.
Предположим теперь, что W допускает комплексное умножение на некоторое
число <о. Положим W'=aW и рассмотрим формулу для El, которая получается
из (б) дифференцированием. Поскольку функция El однородна степени -2 по
х, и, v и степени нуль по ы, U, мы можем записать результат в виде
""'Е =Е\ (Х-, W).
Вычтем из обеих частей х~2 и положим х = 0. Принимая во внимание, что
число слагаемых в левой части равно N= сою, получаем
Z (Е;(ф)-е;)=(0(">-<0)е;, (7)
где R' имеет обычный смысл. Заметим теперь, что Е*-е* = = Е2 - е2. Кроме
того, след о + ш является целым рациональным числом, так что <bW
содержится в W и, значит, Nr/a = cor принадлежит W. Применив результаты
гл. V, § 4 к Е2 - е2 и r/со, получаем, что левая часть (7) алгебраична
над полем Q(e4, е6). В частности, она алгебраична над Q,
VI. Вторая вариация, § 4 57
если е4 и е6 алгебраичны над Q. Учитывая, что е*2 и ?* однородны степени
-2 по и, v и степени нуль по U, v, мы можем воспользоваться последними
результатами гл. V и заключить, что число (u/Sife*2(W) алгебраично над Q.
§ 4. Теперь мы перейдем к изучению функций, которые получаются из ?i
повторным применением операторов д/дх и Зд. Очевидно, они коммутируют.
Для краткости положим дх = д/дх. Пусть а, b - два целых числа, Ь> а^О.
Положим
(~1)Ь ОГ\а$~а~х 1
Еа,ь(х) = Yje <*'+ (r))" <¦* + (tm)УЬ = (r)адЬх~а-'Еи
... (8)
E*a,b(x) = t0nw(r)adbx-a-'Etl.
Если Ь^а + 3, ряд ЕагЬ абсолютно сходится, а Е*а,ь совпадает с Еа.ь. В
остальных случаях Е*а,ь - Еа,ь легко вычисляется с помощью формул (4) и
(6) из § 2. Для всех п ^ 1 функция ?0>п совпадает с Еп, а ?о, п с ?п.
Поскольку E*i однородна степени -1 по х, и, v (и степени нуль по х, й,
v), к ней можно применить формулу (2) из § 1" С другой стороны, dEi/dv
вычисляется с помощью формулы (9) гл. IV, § 2. Объединяя эти тождества с
определениями E*i и Е*2, получаем после несложных выкладок
е\,2 = -(r)(е\) = а{е\-е\е1). (9)
Продифференцируем эту формулу п - 1 раз по х:
(Ю)
Ел."+1=- 7&(Еп)=л Г-^ е:+2 -1? ?;+1?;_л+1).
' h=0 '
Индукцией по а из этого тождества находим, что Е*а> ь для всех а, b с b >
0 представляется в виде
Elb = (b_l)(b{^[^{b_a)Pa.b(ElEl, ?з Ea+b), (11)
где Ра.ь-многочлен от а-\-Ь переменных степени а + 1 с целыми
рациональными коэффициентами. Далее, А и Е*а,ь однородны степеней 1 и -b
соответственно по х, и, v и степеней 1 и а соответственно по х, й, v.
Функция же Е*п однородна степени -п по х, и, v и степени нуль по х, й, v.
Поэтому Paib - "изобарический" многочлен "веса" а -\-Ь.
58 Часть I. Эйзенштейн
§ 5. Аналогично, для Ь>а~^0 определим еа,ь, е*а,ь как значения Еа<ь -
хах~ь, Е",ь-хах~ь в точке х = 0. Тогда
е h =-----------------------(~1)а------------------2Da(eh )
ва'ь (Ь - \)(Ь - 2) ... (Ь - а)^ \&Ь-аЬ
Аналогичная формула имеется для е*а,ъ• Разумеется, эти величины
обращаются в нуль, если разность b - а нечетна.
Исходя из формулы (2) гл. V, § 1 и действуя, как прежде, в § 4, получаем
* ]_ 6Г)(р* \ А \ ^ р V о* р* I
l,2m+l 2т \ 2т) I 2 е2т+2 <ГZ-1 е2гв2т-2г+2) *
\ г=1 /
откуда индукция по а позволяет вывести формулу
л* _ (А/ 2)а Л /л* ч
ва'ъ (b - 1) ... (Ь - а)^а>Ъ\е2' **•*еа,Ъ)•
Здесь Qa,b-"изобарический" многочлен степени а+1 и веса а + Ь с целыми
рациональными коэффициентами. Разумеется, он обращается в нуль, если а-\-
