Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
левой.
Ei(x)=-^logcp(x), f(ttX) = S^-A, (П)
ф(0 = - [xf(t,x)]x=Q.
36 Часть I. Эйзенштейн
Согласно определению Це. мы можем написать
f(t, х) = ПД1 - х + + w ). (12)
Из формулы (13) гл. II, § 6 следует, что внутреннее произведение равно
X - t + VV
sin я -
Pv=-----------------X-
v X + vv
sin я -
и
Положим, как прежде, т = 6v/u, t, = xlu, q = e(т), z = e(?). Пусть,
далее, ?* = [х - t)Ju, z* = e (?*) и для всех v ^ I
Ay=l-q'z, Bv = l-q^z-\ A^ = \-q^z\
Тривиальное вычисление показывает, что
Р0 = (г*% _ 2*-%)/(2% _ z-'h)y pvp_v = A*VB*V/AVBV (v > 1).
Это наводит на мысль ввести абсолютно сходящееся произведение
оо
Xq{z) = (г* - z-'k) П (1 - q'z) (1 - q'z-•), (13)
V=1
где, как условлено выше, мы положим z'k = е (?/2). Тогда f(t,x) =
Xq(z*)/Xq(z).
При х = 0, z = l бесконечное произведение (13) принимает значение Р {q)2,
где
оо
Р(Я) = П (1 - 7V). (И)
V=1
Первый множитель в (13) имеет разложение
е(х/2и) - е(-x/2ti) = 2nixju + ... .
Теперь из (11) немедленно следует формула
- 2т P(q)2 ' ^
§ 4. Данное в § 3 доказательство сходимости бесконечных произведений в
определении f(t,x) показывает, что функция
log/(/,*)+* Y, +irZ (*+шг2
не меняется при замене X одним из методов суммирования, описанных в гл.
III, § 3. Поэтому из формул гл. III, § 4-5 вытекают соответствующие
формулы для f(t,x).
IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 5 37
Рассмотрим, в частности, формулу (7) гл. III, § 5 и результат ее
дифференцирования. Он выглядит так:
П Н*'х + г; o') = f(t, х\ и, v) е (/2 - 2xt) + .
rei?
(16)
Умножим это тождество на х и положим х = 0. В силу (11) получаем
ф(*; "0 П К**п и'> = 45 № и'v) е( Ш2^и'УЫ)' (17>
rsR'
где, как прежде, мы положили R' = R- {0}.
Рассмотрим частный случай: ad - be = 1, т. е. (а, Ь, с, d) принадлежит
модулярной группе. Тогда W' = W и R' = 0. Чтобы упростить обозначения,
положим 6=1, так что т = = v/u. Пусть
Заменив в (17) t на х и подставив вместо <р формулу (15), находим
ХА*) = ХМ • (СХ + е(-^-). (18)
§ 5. Чтобы получить соответствующий результат для f(t,x), можно также
воспользоваться формулой (5) гл. III. Однако с помощью бесконечного
произведения для Xq можно вывести более точное тождество. Действительно,
замена х на х + и всего лишь меняет знак г'1" и, следовательно, Xq (2). С
другой стороны, замена х на х + v приводит к замене z на q6z. Теперь
нетрудно вычислить Xq(qvz) для любого v, заметив, что абсолютно
сходящиеся произведения для Xq(z) и Xq (qvz) различаются только конечным
числом множителей. Легкое вычисление показывает, что
Xq (qvz) = q~^ ( z)~y Xq (г). (19)
q W / ч v ^q
Принимая во внимание тождество (15), получаем
Ф (х + ци + vo) = (-l)"+v ф (х) е( - 6v -J - 6v2^-). (20)
Вместе с формулой (11) это дает нам другое доказательство формулы (5) гл.
III или по крайней мере другой вариант доказательства.
38 Часть I. Эйзенштейн
§ 6. По словам Эйзенштейна, он "по недостатку места" не включил в свою
работу изложение связей между "тэта-рядами" и бесконечными
произведениями. Как считал Дирихле, открытие этих связей было, возможно,
самым значительным достижением Якоби. Мы восполним здесь это упущение.
Любое абсолютно сходящееся произведение П(1+Яп) можно разложить в
абсолютно сходящийся ряд, просто перемножив его члены. Это элементарное
рассуждение восходит, кажется, к Эйлеру; применив его к Xq(z)t получим
разложение
+ оо +оо +оо
Xq(z) = 2'2 X X Cn>vqvzn= X Fn{q)zn+4\
п= - ОО V = 0 п= - ОО
абсолютно сходящееся при |д| <1, 2 ?= 0, где Сп,\ - целые рациональные
числа, a Fn(q)- степенные ряды по q, абсолютно сходящиеся при \q\ <. 1.
Применив к этому ряду тождество (19), получим
Fn+v (q) = (~ Dv Fn (q) q^+M.
Положим F0 = F. Тогда
+ o°
Xg(z) = F(q)T(q,z), T(q,z) = zl/* X (-1 Г^+в,вЛ (21)
tl= - OO
Остается вычислить F(q). Формула (13) показывает, что F( 0)=1.
В своих Fundamenta Якоби доказал, что F(q) = P(q)~x. Следуя Кронекеру,
это можно установить, выведя формулу
Т {q\ q2) = Т (q, iqV") e(j- -
и затем выразив в ее обеих частях Т через Xq с помощью (21). Результат
показывает, что функция F(q)P(q) не меняется при замене q на qA. Так как
она представляется степенным рядом по 9, начинающимся с 1 и сходящимся
при \q\ < 1, она тождественно равна 1.
§ 7. Возможно, поучительнее вывести тот же результат, пользуясь
уравнениями в частных производных параболического типа для Е1 и Т.
Формула (9) § 2 имеет как раз такой вид, потому что dEi/dx=-Е2) дЕ2/дх =-
2Ег. Соответствующие уравнения для тэта-рядов, вроде T(qiz)i хорошо
известны. Еще до Якоби тэта-ряды ввел в математическую литературу Фурье в
своих работах по уравнению теплопроводности.
IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 7 39
Как выше, мы рассматриваем х, и, v в качестве независимых переменных,
точнее, для ближайших целей, мы считаем и постоянным параметром, а х,
v независимыми перемен-
ными. Частные производные понимаются соответственно. Из формулы (И)
получаем
р р2 1 д2Ф р р р 1 д ( 1 д2Ф \
Е2-Ех=--ш, Ез -Е:Е2 у
