Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
Тождество (9) из § 2 можно переписать в виде
д / 1 д2ф 4я/6 дф Ч Q
дх \ ф дх2 Иф dv )
Поэтому выражение в скобках должно совпадать со своим значением при х =
0. Так как первое слагаемое равно Е\ - ?2, а разложения Е\ и Е2
начинаются с х~1 - е2х-\- ... , х~2 + е2 + ... соответственно, его
значение в нуле равно - Зе2. Второй член в нуле обращается в нуль, ибо
х_1ф(х) в нуле равен 1. Поэтому
1 ( д2ф 4я/6 дф \ о
Ф ч дх2 и dv ) ^2*
Выразим теперь ф через Т (qf z) с помощью формул (15) и (21) и заметим,
что T(q,z) удовлетворяет уравнению д2Т 4я/6 дТ ¦ я2 т _п
дх2 и dv и2
Тогда получим
^^log(Fp-2)=3e2-f. (22)
Из определения P(q) сразу же получаем
+ оо
d , п , ч 2m'd d л , v 2т'6 V* v<7v
- logP(",)= - , -logP(")=--------------2, jf-7-
V=1
Сравнивая правую часть этой формулы с тождеством (И) гл. III, § 7
(при m = 1), находим, что этот же ряд фигурирует в формуле для
е2. Поскольку мы уже установили, что
у2 = л2/Зу т. е. Bi = 7б, отсюда вытекает, что
я2 ¦ 8я2 d , г" / \ я2 4я/6 d , п / \
e2 = iF+-p-^Iog/>(9)=iF-a-tol°epW=
= -^^^g(q^P(q)). (23)
Подставив в (22) вместо е2 второе из этих значений, мы убеждаемся, что
FP~2 может лишь постоянным множителем отличаться от Р~3. Но так как F и Р
обращаются в 1 при <7=0,
40 Часть I. Эйзенштейн
этот множитель равен 1. Мы снова доказали, таким образом, что F = Р~1.
§ 8. По традиции функция qx^P{q)y фигурирующая в (23), обозначается
г|(т), где q = е(т), как всегда. Поэтому
е2 = ~ т](т) = Р(е(т))е(^-). (24)
Формула преобразования (14) гл. III, § 8 позволяет теперь получить
формулу преобразования для тр Как в § 4, выберем элемент модулярной
группы (а, Ь, с, d), примем б = 1 и сохраним прежние обозначения. Имеем
dx'/dx = (и/и')2. Учитывая это, мы можем переписать формулу (14) гл. III
в виде
dx ё тЦт) 2 сх + а Ее правая часть является логарифмической производной
от {сх-\-а)ч\ Поэтому г](т/)//п(т) может отличаться от (ст + + а)1/г
только постоянным множителем. Обозначим этот множитель через ел, где А =
(а, b, с, d). Таким образом,
п ( ст + а ) = ^ ^ ' (°Х + а) /г- <25)
Для определенности (ст + а)1/2 будет обозначать ту ветвь квадратного
корня, у которой вещественная часть положительна. Позже мы получим
несколько более точный результат. Множители в а полностью вычислил
Дедекинд; вероятно, поэтому г] часто называют "функцией Дедекинда". Для А
=(0, -1, 1, 0) множитель 8а можно определить, подставив в (25) i вместо
т. Так как ц нигде не обращается в нуль, это дает 8а = J_1/2> так что
r\( - l/x) = x\(x)(x/i)'h.
Объединяя (25) и (18), мы приходим к формуле преобразования для тэта-
функции. Как заметил уже Якоби, удобно ввести видоизмененную функцию
i~lq'liT(q, z), считая ее аргументами ? и т. Следуя Кронекеру1). положим
6(2, г) = i-'q'l*T(q,z) =
+ 00
= Yj е((п + т) T+(rt+T) <26>
4) По типографским причинам мы пользуемся знаком 0 вместо кроне-
керовского 'б1. Обозначения Якоби незначительно отличаются. Буквой 0
пользуется Жордан в гл. VII второго тома своего "Курса анализа". По-
видимому, немногие знают, что эта глава доставляет, пожалуй, лучшее
из существующих классических изложений теории эллиптических и моду-
лярных функций.
IV. Основные соотношения и бесконечные произведения, § 9 41
Эта функция удовлетворяет более простому уравнению, чем Т:
д2в . . дв
-тгт- = 4яг д?2 дх
Формула преобразования для нее также выглядит проще; она немедленно
следует из (18), (21) и (25);
6 (?', тО = е^0(?,т)е(^) • (ст + а?\ (27)
Здесь, как и выше, А = (а, 6, с, d) берется из модулярной группы, и мы
положили
ст + а ъ ст + а '
В частном случае т' = - 1/т мы нашли, что еA = i_,/2. В терминах 0-
функции это приводит к формуле, которая обычно устанавливается
применением "формулы суммирования Пуассона". Стоит отметить, что данное
здесь доказательство, следующее Эйзенштейну, по-видимому, существенно
отличается от стандартного и доставляет более общий результат.
§ 9. Теперь уже нетрудно получить большую часть классических формул
теории (а, возможно, и все такие формулы). Не претендуя на полноту,
рассмотрим некоторые примеры.
Самые простые тождества получатся, если исходить из основного результата
§ 5-6: формулы
T(q, z) = P (q) Xq (z).
Ее следует продифференцировать по г и подставить в результат z = 1 или
рассмотреть значения обеих частей при г = = -1, ±q~'h или q'h. Как мы уже
отмечали, dXq{z)jdz принимает при х = 0, z=l значение P(q)2. Поэтому
+ оо
1
(-1)" (2" + 1) q(n'+nV2 = Р (q)3. (27)
Обозначим общее значение левой и правой части через Т0. При z = -1
получаем
+ оо
= У Е q{n!+n)l2 = Р^)П(1 + <7V)2 = WР(я)~'¦ (28)
42 Часть I. Эйзенштейн
Аналогично, для z = ± и z = q'h находим
+ оо оо
Т2= Е (-1)" qn*l2 = P (q) П (1 - сГ+'!>?=Р (q^)2P(q)~l, (29)
П=- оо О
+ °° оо
Т3= Е qn*l2 = P(q)U(l + q'>+'>>)2=P(q)5P(q2)-2P(ci'l'r2, (30)
П=- оо 0
+ оо
Е (- 1)П+19(" + 0(Зд+2)/в=р(?>/а). (31)
П=-оо
Последняя формула (с х3 вместо <7) была открыта Эйлером в 1740 г. и
доказана им в 1750 г.
§ 10. Тождества другого типа можно получить, подставив х-\- х' вместо х'
