Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
О
равен х, а распределение п(х, •) в момент перескока'—равномерное на отрезке [0, х). Докажите, что вероятности перехода будут задаваться формулой (соответствующей формуле Р‘ = = E + tA+ t2A2/2\ + ...)
Р (t, х, Г) = e~xt6x (Г) -f te~zt dz.
Г п [0, X)
*) Для Меры со знаком v через |v| обозначается ее полная вариация; см. Колмогоров и Фомин (1968, гл. VI, § 5).
255
3. Рассмотрим вопрос, важный, в частности, для приложений.
Как находить по инифинитезимальному оператору стационарное распределение для данного марковского семейства? Из \\Р1 = |д вытекает, что \i^aD и цЛ=0. Итак, дело сводится к тому, чтобы найти ненулевое неотрицательное решение уравнения цЛ=0 и пронормировать его, разделив на ц.(Х) (чтобы мера от всего пространства равнялась единице).
Найдем стационарное распределение для процесса из примера п. Зг) § 8.1. Мы нашли (§ 10.1, п. 2ж)) инфинитезимальный оператор, действующий на функции (гладкие):
Ац> (S) = а [ф (0) — ф (S)],
Ац> (х) = ф' (х) + { [Ф (s) — Ф Ml-
Нужно найти такую меру р,, чтобы <р,, Аф> = 0 при всех Ф е Сравн> Т- е-
ц {5} а [ф (0) - ф (S)] +
ОО
+ ^ ц (dx) | ц>'(х) + Y—fT^j (S) ~ ф } = °'
о
Выберем ф(5) = 1, ф(я) = 0, х е [0, оо); получим
fix)
F(x)»{dx)-
Теперь возьмем ф (5) = 0, ф („*) = ^ ф (у) dy, где ф — произ-
о
вольная непрерывная функция, отличная от нуля лишь на конечном отрезке; получим
) “Ф (x)\i(dx) -¦
о
ОО р X -J
\ Yf-iXF(x) Ь(У) dy\l 0 L 0 J
Ф (у) dy J \1 (dx). Изменим порядок интегрирования в правой части:
Так как функция tJi— произвольная из Сф нн» то меры совладеют и
dy J 1 — F (x)
Плотность g меры ц по мере Лебега удовлетворяет уравнению
ОО
*<*) = $ T-fw 8 {х) dx’
g (у) J _р ^ g (у)-
Решаем это уравнение: = -Ц--тг^г-, откуда g (и) =
g(y) 1 ~F(y)
= с (1 — F (у)).
Итак, ц (Г) = с ^ [1 — F (л:)] dx для Г Е [0, оо). Находим ц{5}.
Ц {s} = S 1 -L(Fф с п “ F dx = а~'с-
О
Найдем меру от всего X = {S} U [0, оо):
n{S}+ti[0, = + J [1-fWldxJ.
OO
Но \ [1 —F(x)]dx — не что иное, как математическое ожида-
о
ние т времени обслуживания. Вывод: если т = оо, стационарного распределения нет; если т < оо, то n{S} = а~1/(а~1 -hm), а на [0, оо) стационарное распределение задается плотностью
(fl-‘ + m)-'[l-FW].
Задача 9. Найдите стационарное распределение для марковского семейства задачи 7 § 10.2.
Задача 10*. Пусть имеется система массового обслуживания с одним каналом обслуживания, с очередью. Поток поступающих заявок — простейший, с плотностью а; время обслуживания— показательное, со средним т (т. е. с параметром т~1). Тогда число заявок, находящихся в системе (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди) в момент t, — марковское семейство со счетным числом состояний с такой инфинитезимальной матрицей: щ, ,-+1 = a, i = 0, 1, 2, ; а,-,= т~\ ац =
=—(а + m-1), i=l,2,...; а0о = —а (остальные—нули).
Докажите, что при t->- оо существует предельное распределение
9 А. Д. Вентдель
257
{<7/. / = 0, 1, 2, ...}, <7, > О, У q, = 1: lim Я (?, i, {/'}) = ff.;
' t-yoo '
при am ^ 1 распределение числа заявок в очереди уходит при /->- оо на бесконечность: lim Р (t, i, [W, оо)) = 1 для любых
/ -> оо
натуральных N, /.
4. Представляет интерес нахождение математических ожиданий и распределений различных функционалов от траекторий процесса, таких, как fih),
t Т
jj g (У ds, f (it), jj g (У ds, где т — момент первого до-0 о
стижения какого-нибудь множества Г, и т. п. В виде математических ожиданий такого рода функционалов могут быть представлены и вероятности разных событий, связанных с процессом, например, вероятность того, что gf достигнет множества Ti раньше, чем Гг,— это математическое ожидание ХГ1\Г2 (Е ), где т — момент первого достижения множества Ti U Гг-
Здесь мы рассмотрим более простой случай функционалов, связанных с неслучайным моментом t; задачи, связанные с моментами первого достижения множества (выхода из области), мы рассмотрим для диффузионных процессов в гл. 13.
Математическое ожидание u{t, х) = МJ (h) — = P*f(x) можно найти как единственное (ограниченное) решение уравнения
-dU~lt’X) =Au(t, х), t > 0, х^Х, (2)
с начальным условием
и (0, х) = f (х) (3)
(во всяком случае, когда начальное условие J^Da, см. § 10.1; единственность ограниченного решения u(t, х) = P‘f(x) вытекает из того, что преобразование
