Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
оо
Лапласа ия(х)=^ e~uu(t, x)dt удовлетворяет урав-
о
нению Хих— Avx = f, а его решение единственно: VK — R\f). Эта задача, в сущности, — не что иное, как задача о нахождении распределения значения для процесса, начинающегося в произвольной точке х, т. е. о нахождении переходной функции по инфините-зимальному оператору.
258
Далее, рассмотрим функцию v{t, х) = М* ^ g(ls)ds—
о
t t
ds=^Psg(x)ds (h предполагается про-0 о
грессивно измеримым относительно
Задача 11. Докажите, что для g е В0 функция v — единственное растущее не быстрее, чем линейная функция от t, решение задачи
dv (yc) (/> x)+g(x)i (4)
v (0, х) = 0. (5)
Задачи (2) — (3) или (4) — (5), может быть, трудно решить, но это — задачи привычного для нас типа; например, если А — дифференциальный оператор, это задача Коши для уравнения в частных производных. Но- как подойти к вопросу о нахождении
распределения ^g(ls)ds? Задача будет решена,
о
если удастся найти характеристическую функцию
М*ехр |г'2 ^ g(|s)ds|. Совместное распределение t
^ gHs)ds и будет найдено, если мы научимся на-
ходить М* ехр \izx ^ g (У ds J- eiz.
Мы возьмемся за более общую задачу нахождения функции
w (t, х) = М* ехр iWyWG,) (6)
для комплексных или действительных функций с и f—-безразлично (предыдущая задача получается из этой при c(x) = izig(x), f(x) = eiz>x).
Теорема. Пусть (?*, Р*) — равномерно стохастически непрерывное марковское семейство на метрическом фазовом пространстве X, функция f е Da,
9* 259
с — ограниченная равномерно непрерывная функция (сеСравн). Тогда функция w, определяемая формулой (6), — единственное растущее не быстрее еа‘ решение задачи
dWgt’ Х) = Aw (t, х) + с (х) w (t, х), (7)
да (0, x) = f(х). (8)
Доказательство будем проводить с использованием известных уже нам сведений из теории полугрупп. Определим линейные операторы Pl, t ^ О, формулой
я7(*) = М*ехр|$С&)
Это будут линейные ограниченные операторы: ||Я*||^ =^еа<> где а = sup Re с (*). Они образуют полугруп-
X
пу. Действительно,
Pt+Sf (х) = Мх ехр | J С (У Л| j f (h+s) =
= М*М* |^ехр | jj с (У du + jj с (У du j / (g<+s) | * j =
= M^exp с(У duj X X M, [et (exp | J с (У du| / (y) <F<t J ¦
Условное математическое ожидание, по марковскому свойству, равно tw(s, lt)=Psf(lt)- Отсюда Pt+Sf(x) =
= М, ехр <\ с (У du > Psf (lt) = №/ (х).
Обозначим инфинитезимальный оператор полугруппы Р* через А¦ Докажем, что Dj=Da и на этом множестве Л/ = Л/ + с/. Имеем lim Г1 (P*f — f) = lim Г1 (P*f - P*f) + lim t~l (P*f - f).
Прежде чем продолжать доказательство, предложим читателю получить более простой результат самостоятельно.
Задача 12. Докажите, что || P{f — P{f || < (е( 11 0 * — l) ||/||. Пользуясь тем, что P*f — f = (p*f — Plf) -(- (p‘f — f), выведите отсюда, что полугруппа Р‘ сильно непрерывна на том же самом пространстве Во, что Р‘, и только на нем.
Теперь докажем, что t-l(P{f(x)— P{f(x)) равномерно по х сходится к c(x)f(x) для всех это
покажет, что крайний левый и крайний правый пределы в (9) существуют или не существуют одновременно, а если существуют, то различаются на с/. Имеем
P‘f (х) — P*f (х) = Мх |^ехр | jj с (Уrfsj — (1 °)
(кстати, эта формула решает задачу 12). Далее,
t
интеграл ^c(?s)(is не превосходит t\\c\\, так что
t ° t ехр | ^ c(Qds 1 — 1 = ^ с (У ds + O (t2) при t j 0, где О (t2)
Vo J о
равномерно по всем траекториям. Отсюда разность (10)
равна Мх\с (ls)ds * f (lt) + О (t2) равномерно по х. Так
о
как / е B0i то Мxf (It) f (*) (t 4 0) равномерно по x, и t
М* Г1 J С (х) ds ¦ / (У = с (jc) М J (У -* с (ж) / (х)
о
тоже равномерно. Значит, остается доказать, что t
Mxr' \ [c(U-c(x)]ds.f(tt)-+0 (11)
о
равномерно по л; е X.
Пусть дано е > 0; выберем 6 > 0 так, чтобы |с(х)— с(у) | < е/(2Ц/11) при р(х,у)<8. Разобьем математическое ожидание в (11) на два слагаемых: интегралы по событию { sup р (х, У ^6} и по событию
0<J<<
{ sup р(х, у >6}. Первый не превосходит е/2,
0<5 < /
261
второй оценивается сверху выражением
2II с ||||/1| Р* { sup p(jc, У > б}.
0<s<f
Но из леммы § 9.1 следует, что
Р*{ sup р (*, У > 5} < 2ав/2 (0-> 0 (t j 0).
0<s< t
Отсюда вытекает, что математическое ожидание в (И) меньше е при достаточно малых t сразу при всех