Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Первая норма не превосходит \\h~l (Phf— f)— v4f||—>-0 (AJO), вторая стремится к нулю потому, что Af е В0.
Если Plf обозначить через ut, то для к( получаем дифференты,
циальное уравнение __L = Аи с начальным условием и0 = {.
dt t
Частный случай этого, при надлежащем изменении обозначений,— уравнение (10) с граничными условиями (11) из примера п. 7 § 8.3.
Переводя (4) в интегральную форму, получаем t t P*f = f+J APsf ds = f+\ Ps Af ds. (5)
о о
5. Для полугрупп на В, связанных с марковскими семействами, имеет место очень важный
*Принцип максимума. Если функция f имеет абсолютный максимум в точке х (т. е. f(x) ^ f(y) для всех у е X) и f Da, то Af(x)sSZ 0.
245
Доказательство. Имеем М J {х),
Af (х) = lim Г1 (М J (h) — ! М) < О-
Задача 7. Для того чтобы полугруппа сжимающих линейных операторов Р‘ на В удовлетворяла условию Р‘ 1 s= 1, необходимо и достаточно, чтобы 1 Л1 = 0.
6. Важный класс примеров полугрупп на произвольном банаховом пространстве Е задается формулой
pt = е*л = Е _|_ м _|_ fA2f2 tnАп/п\ + . . ., (6)
где Л — определенный всюду на Е ограниченный линейный оператор. Сходимость в (6) можно понимать не только как сильную сходимость — сходимость в применении к любому но и как сходимость
в смысле операторной нормы; она обеспечивается тем, что члены ряда мажорируются по норме членами сходящегося числового ряда Y, (t\\A\\)nln\. Полу групповое свойство сводится к тому, что = etAesA,
и легко проверяется (вообще еА+в = елев, если операторы А и В коммутируют). То, что у полугруппы (в действительности даже группы) etA инфинитезималь-ным оператором будет именно А, проверяется так:
ЦГ1 (etAf - f) ~ Af\\ =
= \\tA2f/2+ ... +tn~'Anf/n\ + ...||<
</|M|f||/|^2+ ... -f- tn~l1| A |f || f ||/ra! + ...< <t\\A\nf\\V+t\\A\\ + (t\\A\\)2+...] =
= Л|Л||2||/||/[1 -/||Л||]->0 (/|0).
При помощи формулы etA была получена матрица задачи 1 § 8.1; матрица ^ ( 2 _2) была подо-
брана так, чтобы выполнялся принцип максимума и Л1 =0.
7. Для полугруппы Р‘, действующей на меры (точнее, счетноаддитивные функции множества), мы также можем рассматривать инфинитезимальный оператор (его можно обозначать тон же буквой А, но писать ее справа от обозначения меры):
цЛ = lim (цР^ — ц)
/ *о
246
в смысле сходимости По вариации; его область определения будем обозначать aD. Из <ц, Р‘{> = (\iP‘, /) следует, что для / е Д4, ik^aD
<|i, А[) = <цА, }).
Это еще не вполне значит, что оператор А, действующий на меры,— сопряженный к оператору А, действующему на функции.
Задача 8*. Пусть из того, что <jj,i, /> = (цг, f) для всех / е В о, вытекает (ii = Цг- Докажите, что ц е aD тогда и только тогда, когда существует v, принадлежащее пространству сильной непрерывности полугруппы, действующей на меры, такое, что <ц, Af} = (v, /) для всех f е DA; при этом \iA = v.
(То есть оператор А, действующий на меры, — оператор, сопряженный к оператору, действующему на функции, суженный до оператора в пространстве Vo.)
§ 10.2. Резольвента. Теорема Хилле—Йосида
1. Резвольвентой полугруппы операторов Р‘ называется семейство операторов R\, определяемых формулой
оо
Rxf=\ e-vptfdt. (1)
о
Это — преобразование Лапласа полугруппы. Уточним это определение. Интеграл (1) можно определить для полугруппы в произвольном банаховом пространстве, но мы для простоты ограничимся случаем пространства В.
Пусть (?,, 0^ / < оо; Рх)— марковское семейство, причем процесс прогрессивно измерим относительно семейства ст-алгебр Тогда функция P‘f(x) изме-
рима по (t, х) для любой функции f^B (см. § 8.5, п. 2). Полагаем для / е В, х е X
оо
RJ(x) = \ e~MP‘f(x)dt. (2)
о
Здесь интеграл сходится, во всяком случае, при % > 0 (в этой книге мы не будем рассматривать резольвенту при комплексных X); сходимость вытекает из \Р1!(Х) I ^ 11/11. Функция Rxf измерима (теорема Фу-бини) и ограничена: ||/?a,/||s=: X-11|/||, т. е. R%f^ B. Ясно, что R\, к > 0, — линейные операторы, они ограничены: ||/?А,||^ X-1. Семейство операторов R\ называется резольвентой полугруппы Р‘ (или соответствующего марковского семейства).
247
При любом х функция Rxf(x) является преобразованием Лапласа от числовой функции P‘f(x), /е е [О, оо). Знание Rxf(x) при всех X > 0 позволяет восстановить функцию Р^(х), t ^ 0, с точностью до функции, отличной от нуля лишь на множестве значений t лебеговой меры 0 (см. Колмогоров и Фомин, 1968 (гл. VIII, § 6, также § 3, 4)). Если / е В0, то функция Plf{x) непрерывна по t, и она восстанавливается по Rxf{x), X > 0, в точности однозначно.
