Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. С диффузиями могут быть связаны дифференциальные операторы не выше второго порядка. Легко установить, что если дифференциальный оператор содержит с ненулевым коэффициентом, скажем, третью производную то он не удовлетворяет принципу максимума-, можно найти функцию, имеющую в некоторой точке Хо абсолютный максимум, в то время как значение оператора в этой точке положительно. Значит, оператор может содержать лишь производные первого и второго порядков (члена c(x)f(х) не должно быть, потому что инфинитезимальный оператор должен удовлетворять условию А1 = 0), т. е. иметь вид
— а (х) f" (х) + b (х) f' (х) или, в многомерном случае,
мы скажем в следующем параграфе.) Принцип максимума не позволяет также коэффициентам быть произвольными, а именно, матрица (ач(х)) должна быть неотрицательно определенной при любом х (в одномерном случае просто а ^ 0). Таким образом, дифференциальный оператор, связанный с диффузией, должен быть эллиптическим оператором второго порядка или «вырождающимся эллиптическим», т. е. обращающимся в каких-то точках или даже всюду в параболический (или гиперпараболи-ческий, или даже вообще в оператор первого порядка).
В этой книге мы ограничимся рассмотрением диффузий во всем пространстве Rr. Дадим точное определение.
Марковское семейство (|<, Р*) на фазовом пространстве (Rr, &г) мы будем называть диффузией в Rr, если
а) его инфинитезимальный оператор определен на всех финитных дважды непрерывно дифференцируе-
(К чему здесь множитель 1/2,
И
i •
265
мых функциях (разумеется, не только на них: например, Da всегда содержит тождественную единицу), и существуют непрерывные векторная функция (Ь‘(х)) и матричная (аЧ(х)) (матрица (a‘i(x)) при любом х симметрична и неотрицательно определена) такие, что
ДЛЯ f Сфии
Л/(*) = ?/(*)«! ?
i,j= 1 1 = 1
б) все его траектории непрерывны. Дифференциальный оператор L будем называть производящим оператором диффузии.
Возможность удовлетворить условию б) почти следует из условия а). Действительно, компактифицировав Rr добавлением одной точки оо, получим марковское семейство, удовлетворяющее условиям микротеоремы 2 § 10.3; его траектории могут быть выбраны непрерывными. Но непрерывность траекторий в компакте Rr (J {оо} не означает непрерывности траекторий первоначального процесса в Rr; траектория может уйти на бесконечность и прийти из бесконечности. Таким образом, сущность строгого требования непрерывности б) состоит в запрещении ухода на бесконечность — выхода на границу области, в которой задан процесс.
§ 11.2. Результаты Колмогорова.
Обратное и прямое уравнения
В этом параграфе излагаются в переработанном виде результаты, содержащиеся в § 13, 14 работы А. Н. Колмогорова «ОЬег die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung» (Mathemat. Ann.—• 1931. — Bd. 104. — S. 415—438; русский перевод: УМН. — 1938, —Т. 5, —С. 5—14).
1. Пусть на Rr заданы непрерывные функции а‘Цх), Ь‘(х), ?,/=1, ..., г; пусть L — соответствующий им дифференциальный оператор: ^/ =
'YaU-ZL^+Yv-ZL.
2 “ дх1 дх1 дх1
«. / i
Теорема 1. Пусть [lh Рх)— марковское семейство на (Rr, $}г) такое, что при любом е > 0 равно-
266
мерно по х выполняются следующие соотношения:
P(t, х, VE(x)) = o(t), (1)
\ (у1 — хО Р (t, х, dy) = b{ (х) t + о (t), (2)
ие (*>
\ (У1 — X1) (у> — х') Р (t, X, dy) = a1' (х) t + о (t) (3)
ие (*>
при /|0 (здесь Ue(x) — е-окрестность точки х, Уе(*) — ее дополнение). Тогда инфинитезимальный оператор этого марковского семейства определен на всех функциях f из Сравн (т. е. ограниченных и равномерно непрерывных вместе со своими частными производными первого и второго порядка), и на них он равен Ц.
Прежде чем доказывать теорему, поговорим о смысле условий (1) — (3). Первое из них — достаточное условие для существования марковского семейства с данными переходными вероятностями, с непрерывными траекториями. Легко доказать, что при условии (1), если (2) и (3) выполнены при каком-то одном положительном е, то они выполнены и при всех е > 0. Выражения в левых частях (2), (3) —не что иное, как «урезанные» математические ожидания и ковариации Мх — х1), Мх —
— (собственно, для получения ковариации нужно еще
вычесть произведение математических ожиданий, но оно имеет порядок 0(t2) = o(t)). Условия (2), (3) означают, что эти величины имеют первый порядок относительно t при малых t. Коэффициенты пропорциональности Ь‘(х) и а‘Цх) поэтому называют соответственно локальными математическими ожиданиями (локальными средними) и локальными ковариациями (в одномерном случае, а также при i = /— локальными дисперсиями). Другие названия: для коэффициентов Ь1 (х) — коэффициенты переноса (или сноса, или дрейфа; или вектор Ь(х) называют вектором переноса); для матрицы ач(х) —матрица диффузии (в одномерном случае а(х)—коэффициент диффузии). Эти названия связаны с физической интерпретацией диффузионных процессов. Для броуновского движения в однородной и изотропной среде, когда на частицу не действуют никакие посторонние силы, кроме ударов молекул, естественно считать коэффициенты диффузии и переноса не зависящими от л: и инвариантными относительно вращений, т. е. Ь(х) =0, (a‘i (х)) = аЕ\ это ; означает, что такое однородное симметричное броуновское движение с точностью до множителя — винеровский процесс.
