Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
+ х Оператор оказывается не эллиптическим, а вырождающимся в параболический; и соответствующий процесс, как мы видим, — тоже в каком-то смысле вырожденный: случайность не отпущена ему полной мерой — вторая координата полностью определяется первой (и начальной точкой).
в) Положим ?( = ф(о>/), где ф (jc)—гладкая возрастающая функция (ф'(х) > 0), растущая на ±оо быстрее, чем есх при любом с; wt — винеровский процесс. Математическое ожидание Mx?t при t > 0 не существует, но локальное среднее и локаль-
270
ная дисперсия существуют и равны b (х) = ф" (<р-1 (*)),
а(х) = (Ф' (ф-‘ (х)))\ Lf(x) (Ф' (ф-‘ (х))П"(х) +
+-^-ф" (ф-1 (*)) Г (*)• Этот оператор можно представить в виде
1 d2f
где и (х) — ф 1 (х). (Докажите.)
г) Посмотрим, каким диффузионным процессом можно приблизить процесс изменения численности особей какого-то вида (см. § 11.1). Пусть коэффиценты рождаемости и смертности (среднее число рождающихся и погибающих в единицу времени особей в расчете на одну особь) зависят от общего числа п особей (потому что от него зависит, хватит ли всем пищи) и равны соответственно г(п), 1(п). На малом отрезке времени можно считать n(t) яг п, а значит, г и I — тоже приближенно постоянны. При этом естественное приближение к реальности состоит в том, чтобы считать числа рождений и смертей за малое время независимыми пуассоновскими процессами с параметрами я-г(я), п-1(п). Отсюда Мп [п (0 — л] « я (г (я)— l(n))-t, а дисперсия ягя(г(я) +/(я)) •/. Получаем Ь(п) = п(г(п)—L(n)), а(л) = = п(г(п) +/(«)); процесс связан с дифференциальным оператором L} (л) = ~п (г (п) + 1(п)) + я (г (я) — / (я)) функ-
цию uN(t,n), выражающую вероятность того, что в момент t (не малый) число особей будет =s:Af, если все начиналось с я особей,
^UN
можно найти как решение задачи Коши:—= LuN; u«(0, я) =
= 1 при я^: О, «„(О, я) = 0 при я > N.
Разумеется, хорошим диффузионное приближение может быть только при больших п.
3. Теорема 2. Пусть инфинитезимальный оператор диффузионного процесса определен и совпадает с производящим оператором L на всех дважды непрерывно дифференцируемых функциях /, убывающих
вместе с производными -^~т, —f ^ . ¦ на бесконечно-
дх дх дх1
сти не медленнее, чем некоторая функция ф(я) (—> О при оо). Предположим, что переходные вероят-
ности диффузионного процесса задаются плотностью:
P(t, х, Г) = jj p(t, х, y)dy, где функция p(t,x,y), r
определенная на (0, оо) X Rr X Rr, непрерывна по всем трем переменным вместе с первой частной производной по t и частными производными первых двух порядков по х‘, х>. Пусть, наконец, имеют место оценки
<C(t, у)у(х), (5)
др др I д2р
dt 1 дх1 Г дх1 дх'
271
где С(t, у) —- непрерывная положительная функция на (О, оо)Х Rr. Тогда переходная плотность удовлетворяет следующему уравнению:
др ((, х, у) dt
д2р (t, х, у) дх1 дх>
а
(6)
или, короче, ~~ = Lxp. (Индекс * означает, что оператор применяется к плотности при фиксированных t, у как к функции от х.)
Условия теоремы довольно громоздки, например, требуется, чтобы плотность и ее производные оценивались функцией C(t,y) ф(х), а не просто С(у)ф(х); но здесь ничего не поделаешь, потому что соответствующее распределение при /|0 сходится к распределению, целиком сосредоточенному в одной точке (на языке обобщенных функций: p(t, х, у)^8(у — х) при /jO для любого x^Rr), и плотность не может не расти, когда t приближается к нулю.
Доказательство. Прежде всего, оценки (5) обеспечивают возможность производить дифференцирование под знаком интеграла в формуле
где f — произвольная ограниченная измеримая функция, обращающаяся в нуль вне некоторого компакта:
При этом в силу требований, наложенных на плотность, полученные функции при любом фиксированном / > 0 будут убывать на бесконечности не медленнее, чем const-(p(x),'a значит, P(f будет принадлежать Da-
РЧ{х)= ^ PV, х’ y)f{y)dy,
272
Теперь возьмем в качестве / функцию из Сф1„; она будет принадлежать Da, а для таких функций
~Р-= AP'f (х) (формула (4) § 10.1). По условию
теоремы применить оператор А к функции P‘f, убывающей вместе с производными с указанной скоростью на бесконечности, — это все равно, что применить оператор L; пользуясь формулами (7), переписываем это уравнение в таком виде:
S т*у=№> м J им+
Rr И Rr
+ 2>'« \~P-A'-~-t(y)dy,
или
я-
др (t, х, у) 1 л .. , ч д2р (t, х, у)
dt 2 Z_i v ' dx1 d*'
if
dp (t, x, y)
Yj bi (X)
dx‘
