Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений тот факт, что одна и та же функция p(s,x,t,y) при изменении роли ее аргументов служит фундаментальным решением двух сопряженных друг другу параболических уравнений, хорошо известен.
Задача 3*. Для гауссовского процесса Z(t), 0 ^ t sg; 1, с нулевым средним и корреляционной функцией s Д/— st докажите, что он марковский; найдите соответствующую переходную функцию; найдите локальные среднее и дисперсию b(s,x), a(s, х); выпишите дифференциальный оператор L, связанный с процессом (переходная плотность будет удовлетворять обратному и прямому уравнениям с оператором L и сопряженным ему).
Глава 12
СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 12.1. Стохастические интегралы от случайных функций
1. Пусть на вероятностном пространстве (й, , Р)
задано неубывающее семейство а-алгебр t ^ ?Г, t ^ t0, и винеровский процесс wt, t ^ t0, согласованный с семейством t и такой, что приращения wu — wt после момента t независимы от ст-алгебры SF t. (Иначе говоря, wt — винеровский процесс, для которого выполняется марковское свойство относительно семейства ст-алгебр 2Fй см. § 8.5, п. 1.)
В качестве 0-алгебр 9~,t можно взять о-алгебры &<t~ = %Гw s<t или + , порожденные самим винеровским про-
цессом; но для некоторых целей можно использовать другой выбор этих сг-алгебр. Например, cr-алгебра SFt может порождаться произвольной случайной величиной т] и не зависящим от нее винеровским процессом: t = crfrj; ws, s ^ t). Другой пример:
wt — одна из компонент многомерного винеровского процесса, а cr-алгебра ST,t порождается всеми его компонентами вплоть до момента t.
Пусть /max ^ t0\ допускается tmax — +оо. Мы определим стохастический интеграл
*тах
Kf)= \ f(t, a)dwt (1)
и
для случайных функций f(t, со), t0<t^.tmax, предсказуемых относительно семейства ст-алгебр t и
*тах
таких, что м j \fa , ш) |2 dt < оо; иначе говоря, для <0
функций f е= L2((t0, /тах] х й, &red, mes X Р) (при ^тах = 00 принимаем, что (t0, оо] — то же самое, что Vo, °°))-
277
Для этого мы воспользуемся уже готовой конструкцией стохастического интеграла Jf(x)t,(dx) от-
х
носительно случайной меры с некоррелированными значениями вместе с продолжением | с полукольца — см. теоремы 1, Г § 2.2; но сделаем это не так, как мы определяли интеграл относительно винеровского процесса от неслучайной функции (см. § 2.2), а хитрее.
В качестве X возьмем (^ ^шах]Х^; в качестве о-алгебры 86 на этом пространстве — о-алгебру 9*red; мера т — прямое произведение mes X Р меры Лебега и вероятности р. Рассмотрим систему st подмножеств пространства (/0, /шах]ХЙ, состоящую из всех множеств вида (t,t']XB, где t0^t^t'^tmax, t'<oо, a Легко доказать, что — полукольцо. Дей-
ствительно, пересечение множеств из имеет вид
((f, t'\ х В) n ((S, s'] х С) = (I v S, ? Д s'] х (В п С),
причем из того, что В е= SFt, С е 3~s, вытекает В, Cef(Vs и В f) С е ?F( v s. Теперь пусть имеется два непустых множества из s&, одно из которых является частью другого: (t, t'] X В э (s, s'] X С; отсюда вытекает, что t ^ s ^ s' ^ f, В ^ С. Разность этих множеств имеет вид
((f, t'] ХВ)\ ((s, s'] х С) =
= ((, s] X В) U ((s, s'] Х(В\ С)) U ((s', П X В),
где все три слагаемых не пересекаются и принадлежат (потому что В <=3Ft, откуда также В е 3~s, C<=STs и B\C^TS).
Определим на полукольце зФ такую случайную функцию множества ?(Л) = ?(Л, ш):
I ((t, i'] ХВ) = %в (ш) (wf — wt).
Теорема 1. Случайная функция ?(Л) конечноаддитивна на и удовлетворяет условиям Ms (Л) = О, некоррелированности для непересекающихся множеств и М| ?(Л) |2 = т(Л) (напомним, что m = raes X Р)-Доказательство. Конечная аддитивность:
П
пусть (t, t']XB= U (t,, t'] х в,, причем отдельные i=i4 J
278
слагаемые не пересекаются. Требуется проверить, что
П
Хв (<") (wr — wt) = Е %Bt (®) (®>t' — wt.y (2)
То, что «прямоугольники» /'] X не пересекаются, разумеется, не Означает, что не пересекаются друг с другом полуинтервалы {tt, или события В.. Перенумеруем все точки t, t', tv в порядке возрастания: s0 (—t) < Si < . .. < sm (=0, и представим каждый полуинтервал tв виде объединения входящих в него непересекающихся полуинтервальчиков (s;-, s/+1]:
V1
1'i]= .U (s/> si+1]- Имеем:
i ii
n V1
(t, ПХ5=и [] (Sj, sj+l]XBh (3)
i = 1
причем все слагаемые в (3) не пересекаются; аналогично прэвая часть (2) записывается в виде
п V1
<4)
(приращение функции до от до равно сумме приращений от s;. до s/+1).
Перепишем суммы (3) и (4), сгруппировав слагаемые с одним и тем же j:
т-1
(t, t']XB= U f(Sj, s/ + 1]X U ВЛ; (5)