Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
*тах
руется случайной величиной (j |/(/, со) |2 Л, имеющей
конечное математическое ожидание; по теореме Лебега второе математическое ожидание в правой части (19) также стремится к 0.
Теорема доказана.
6. Если wt — (w\, . . ., wrt) — многомерный винеровский процесс, то для функции fit, to) = (/t (/, и), ...
. .., frit, со)), fi^L2 i(t0, t max] X Й, @red, mes X P). стохастический интеграл
*max *max r
/it, <?>)dwt— ^ 'Yjfiit, <i>)dw\
ta fg i — 1
288
определяется просто как сумма интегралов относительно отдельных компонент:
г
Yj \ ft (*» ®) dWr
1 = 1 i о
Он обладает всеми теми же свойствами, в частности,
М
IIldA I IIIdA '
5 ?/,.(/, со) =м 5 ?|ЫЛ со)рЛ.
i —1
i = 1
7. Можно определить стохастический интеграл от предска-
*тах
зуемой случайной функции, для которой М ^ | f |2 dt = со, но
max
^ | f I2 dt сходится с вероятностью 1; такие стохастические
to
интегралы уже не будут, вообще говоря, иметь нулевого математического ожидания, но ряд хороших свойств для них все же останется (см., например, Гихман и Скороход, 1965). Определяются также стохастические интегралы не относительно винеровского процесса, а относительно квадратично интегрируемых мартингалов. Мы не будем вводить таких интегралов в этой книге.
§ 12.2. Стохастический интеграл как функция верхнего предела
1. Стохастический интеграл определяется не однозначно, а лишь почти однозначно; если рассматривать стохастический интеграл от to до t как функцию верхнего предела, встает вопрос о согласованном выборе его вариантов при разных t.
Теорема 1. Пусть f е L2 ((to, /тах] X &red, mes X Р). Существует вариант стохастического интеграла
t
% ^ f ($г Со) dws, to t /щах, (1)
f О
обладающий следующими свойствами:
а) г\t — мартингал относительно семейства а-алгебр 2Гt (при /шах = оо в качестве 2Г<х> берется
10 А. Д. Вентцель
289
б) случайная функция tj< предсказуема;
в) для почти всех ю реализации т]< непрерывны по / на отрезке [/0, /шах] (в том числе и слева в точке
ОО, если /max = оо);
г) бикомпенсатор стохастических интегралов
t t t
^/(s, ti>)dws, ®)dws равен ^/(s, co)g(s, со)ds.
t0 t0 *0
Доказательство проводится следующим образом: сначала для ступенчатых случайных функций
где /0 < /! < ... < /„ ^/max. fi измеримо относительно t \ а потом предельным переходом для всех
/ е L2((t0, /тах] X Pred, mes X Р)- Для ступенчатых / в качестве варианта стохастического интеграла выбираем тот, который задается формулой (13) предыдущего параграфа. Это приводит к % (со) = /0 (со) X X (ml — wt0) + /1 (со) (wt2 — wt{) + ... + i (со) (ay,. —
“ W‘i-i) + fi (“) (W‘ ~ Wti) ПРИ t(^[ti’tU lL a
при t e [/„, /max] — к ti,(co) = /о (со) (wt, — ш,0) -f ...
• - • + fп_i (ш) (wtn—(ПРИ t= ^ действуют обе фор-
мулы— и относящаяся к предыдущему отрезку, и к следующему). Мы видим, что случайная функция т], согласована с семейством ст-алгебр t, и л, (со) непрерывно по /; это дает предсказуемость л,.
Чтобы проверить, что т],— мартингал, надо еще установить, что для /0 ^ /' ^ /" ^ /шах почти наверное
Не ограничивая общности, мы можем считать, что /' и /" принадлежат к точкам; /о, /ь ..., tnvt' = ti, t" = //; имеем:
(2)
M(v — v|*V) = o.
(3)
М (л,„ - r\t, | <Г,,) = м ( Ёfk (со) - wt.J | ^.) =
/-1
= ? М (М (/* (со) (^А+1 - j <г<4) I sr.)
290
Измеримая относительно t случайная величина /*(со) выносится за знак внутреннего условного математического ожидания, остается М(а^+]—=
=МК+.-“'**)=°-
Задача 1. Докажите, что для проверки утверждения г) достаточно установить, что для to t' ^ t” ^ fmax
М [(т1(// — лг) (?/" — ?f') I &~t'] ~ ^
¦t" -j ^ f(s, ш) g(s, ш) ds| &¦ t, I,
(4)
dws.
где задается формулой (1), а ?* = ^ g- (s, а)
to
Задача 2. Проверьте г) для ступенчатых случайных функций вида (2) и
п— 1
g(t, ш)= ? g{ (со) х({., ,1 (0. (5)
? = 0 1 +
где g{ измеримы относительно 2Г{ .
‘
Теперь выберем последовательность ступенчатых функций fn(t, со) указанного вида, сходящихся к f(t, со) в L2((ta, ^max] X ^)- Выберем эту последовательность