Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 107

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 146 >> Следующая


*тах

руется случайной величиной (j |/(/, со) |2 Л, имеющей

конечное математическое ожидание; по теореме Лебега второе математическое ожидание в правой части (19) также стремится к 0.

Теорема доказана.

6. Если wt — (w\, . . ., wrt) — многомерный винеровский процесс, то для функции fit, to) = (/t (/, и), ...

. .., frit, со)), fi^L2 i(t0, t max] X Й, @red, mes X P). стохастический интеграл

*max *max r

/it, <?>)dwt— ^ 'Yjfiit, <i>)dw\

ta fg i — 1

288
определяется просто как сумма интегралов относительно отдельных компонент:

г

Yj \ ft (*» ®) dWr

1 = 1 i о

Он обладает всеми теми же свойствами, в частности,

М

IIldA I IIIdA '

5 ?/,.(/, со) =м 5 ?|ЫЛ со)рЛ.

i —1

i = 1

7. Можно определить стохастический интеграл от предска-

*тах

зуемой случайной функции, для которой М ^ | f |2 dt = со, но

max

^ | f I2 dt сходится с вероятностью 1; такие стохастические

to

интегралы уже не будут, вообще говоря, иметь нулевого математического ожидания, но ряд хороших свойств для них все же останется (см., например, Гихман и Скороход, 1965). Определяются также стохастические интегралы не относительно винеровского процесса, а относительно квадратично интегрируемых мартингалов. Мы не будем вводить таких интегралов в этой книге.

§ 12.2. Стохастический интеграл как функция верхнего предела

1. Стохастический интеграл определяется не однозначно, а лишь почти однозначно; если рассматривать стохастический интеграл от to до t как функцию верхнего предела, встает вопрос о согласованном выборе его вариантов при разных t.

Теорема 1. Пусть f е L2 ((to, /тах] X &red, mes X Р). Существует вариант стохастического интеграла

t

% ^ f ($г Со) dws, to t /щах, (1)

f О

обладающий следующими свойствами:

а) г\t — мартингал относительно семейства а-алгебр 2Гt (при /шах = оо в качестве 2Г<х> берется

10 А. Д. Вентцель

289
б) случайная функция tj< предсказуема;

в) для почти всех ю реализации т]< непрерывны по / на отрезке [/0, /шах] (в том числе и слева в точке

ОО, если /max = оо);

г) бикомпенсатор стохастических интегралов

t t t

^/(s, ti>)dws, ®)dws равен ^/(s, co)g(s, со)ds.

t0 t0 *0

Доказательство проводится следующим образом: сначала для ступенчатых случайных функций

где /0 < /! < ... < /„ ^/max. fi измеримо относительно t \ а потом предельным переходом для всех

/ е L2((t0, /тах] X Pred, mes X Р)- Для ступенчатых / в качестве варианта стохастического интеграла выбираем тот, который задается формулой (13) предыдущего параграфа. Это приводит к % (со) = /0 (со) X X (ml — wt0) + /1 (со) (wt2 — wt{) + ... + i (со) (ay,. —

“ W‘i-i) + fi (“) (W‘ ~ Wti) ПРИ t(^[ti’tU lL a

при t e [/„, /max] — к ti,(co) = /о (со) (wt, — ш,0) -f ...

• - • + fп_i (ш) (wtn—(ПРИ t= ^ действуют обе фор-

мулы— и относящаяся к предыдущему отрезку, и к следующему). Мы видим, что случайная функция т], согласована с семейством ст-алгебр t, и л, (со) непрерывно по /; это дает предсказуемость л,.

Чтобы проверить, что т],— мартингал, надо еще установить, что для /0 ^ /' ^ /" ^ /шах почти наверное

Не ограничивая общности, мы можем считать, что /' и /" принадлежат к точкам; /о, /ь ..., tnvt' = ti, t" = //; имеем:

(2)

M(v — v|*V) = o.

(3)

М (л,„ - r\t, | <Г,,) = м ( Ёfk (со) - wt.J | ^.) =

/-1

= ? М (М (/* (со) (^А+1 - j <г<4) I sr.)

290
Измеримая относительно t случайная величина /*(со) выносится за знак внутреннего условного математического ожидания, остается М(а^+]—=

=МК+.-“'**)=°-

Задача 1. Докажите, что для проверки утверждения г) достаточно установить, что для to t' ^ t” ^ fmax

М [(т1(// — лг) (?/" — ?f') I &~t'] ~ ^

¦t" -j ^ f(s, ш) g(s, ш) ds| &¦ t, I,

(4)

dws.

где задается формулой (1), а ?* = ^ g- (s, а)

to

Задача 2. Проверьте г) для ступенчатых случайных функций вида (2) и

п— 1

g(t, ш)= ? g{ (со) х({., ,1 (0. (5)

? = 0 1 +

где g{ измеримы относительно 2Г{ .



Теперь выберем последовательность ступенчатых функций fn(t, со) указанного вида, сходящихся к f(t, со) в L2((ta, ^max] X ^)- Выберем эту последовательность
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed