Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
б >P*ft(x)^P(t, х, у2е/3 (xt))^P(t, х, 1/SW)
(используется выбор функции /, и то, что VE(x)^ ^ ^2е/з(х,)). Отсюда ае(/г)^б при h ^ /г0; так как б произвольно мало, то lim ае (Л) = 0.
А* 0
В терминах инфинитезимального оператора условие В0^С формулируется так: DA всюду плотно в С.
Теперь займемся непрерывностью траекторий, точнее, вопросом о выполнении условия Дынкина — Кинни: ae(h) = o(h) при Л|0 для любого е > 0. Этому условию, грубо говоря, соответствует локальность оператора А.
Оператор А будем называть локальным, если из того, что f, g ^ DA и эти функции совпадают в некоторой окрестности Ue(x) точки х, вытекает Л/(х) = = Ag(x). Примеры — всевозможные дифференциальные операторы; нелокальными являются интегральные операторы.
Легко видеть, что из условия Дынкина — Кинни вытекает локальность инфинитезимального оператора.
253
Действительно, если / совпадает с g в Ue(x), то
I Af (х) — Ag (х) | =
= lim Г11 P*f (х) — f(x) — Pfg (х) + g (*) | = t + 0
= lim Г11 Pf {f — g) w| =
t+o
= lim t 1
P (t, x, dy) [/ (y) — / (*)]
<||/ — g||lim/ P{t, x, VR{x)) = 0.
Однако обратное утверждение в точности не верно. Верно более сложное утверждение:
Микротеорема 2. Пусть X — компакт, А — инфинитезимальный оператор марковского семейства на нем. Пусть оператор А локален, и для любого е > 0 и любой точки х существует неотрицательная функция f^DA, равная нулю в Ue/3(x) и положительная вне ^2е/з(х). Тогда выполнено условие Дынкина — Кинни.
Задача 1. Докажите микротеорему 2.
Задача 2. Докажите, что полугруппе задачи 7 § 10.2 отвечает марковское семейство с непрерывными траекториями.
2. Мы использовали теоремы 1, 3 § 9.1; теперь посмотрим, когда выполнены условия теоремы 4 § 9.1.
Задача 3. Если инфинитезимальный оператор А—определенный на всем пространстве В ограниченный оператор, то sup [ 1 — Р (t, х, {*})] < 11| А || -> 0 (t ф 0).
X
Это обеспечивает возможность выбора траекторий непрерывными справа ступенчатыми функциями с конечным числом ступенек на любом конечном промежутке времени.
Задача 4*. Может ли быть, чтобы sup[l —Р (t, х, {*})] ->
х
->¦ 0 (t ф 0), но оператор А был неограничен или определен не всюду на В?
Рассмотрим подробнее процессы с ограниченным инфинитезимальным оператором, т. е. с полугруппой Р‘ = е‘А. Легко доказать, что оператор А — предел операторов t~l(Pt — Е) в смысле сходимости по операторной норме. Операторы Р‘ — интегральные, значит, и t~l(P‘ — Е)—интегральный оператор:
{-'(Р1 -E)f(x)=\jri[P(t, х, dy)-6x(dy)]f (у),
X
где б*(Г)—единичная мера, сосредоточенная в точке х. Предел интегральных операторов в смысле сходимости по норме — опять интегральный оператор. Действительно, норма интегрального опе-
254
ратора Qf (*) =• J Q (x, dy) f (у), где Q (x, •) — мера со знаком, X
равна sup | Q (х, .) | (X) *); поэтому сходимость таких операторе
ров по норме означает равномерную по х сходимость соответствующих мер по вариации. Из полноты пространства V вытекает существование А (х, ^ПшГ1 [Р ((, д:, •) — 6Х (•)] в
<¦*¦0
в смысле сходимости по вариации равномерно по х. Итак,
Af (х) = jj А (х, dy) f (у). (1)
X
Задача 5. Докажите, что мера А (х, •) неотрицательна на подмножествах X\{x}, неположительна на {х}, А (х, X) = 0; функция А(х, Г) измерима по х, и 0 ^ А (х, {х}) ^—С >—оо при всех х. Обратно, каждой такой функции соответствует марковское семейство с ограниченным инфинитезимальным оператором, задаваемым формулой (1).
Теперь пусть траектории процесса — непрерывные справа ступенчатые функции. Процесс будет строго марковским (потому что его траектории непрерывны справа относительно дискретной топологии в фазовом пространстве, а переходная функция является феллеровской относительно этой топологии). Процесс будет происходить следующим образом: начинаясь в точке х, он
будет находиться в ней случайное время х(х) с показательным распределением с параметром Х(х), после чего перескочит в другую точку y = независимую от х(х) с каким-то распре-
делением л(х, Г), rsJI\{x) (задачи 4, 6* § 9.2); затем движение— в силу строго марковского свойства — будет происходить так, как если бы частица начинала его в точке у: она будет в ней находиться в течение показательного случайного времени с параметром Х(у), и т. д.
Задача 6. Докажите, что X (х) = —¦ А (х, {*}); и (х, Г) = = Рх {1Х (х) е= Г} = А (х, Г)Д (*) при Ге1\ {*}, X (х) > 0.
Задача 7. Пусть Af (х) = a[f(x -f 1) — /(*)]. Найдите etA. Какое марковское семейство соответствует этой полугруппе?
Задача 8*. Возьмем (^, 9В) = ([0, 1], ,]), Af {х) =
X
= ^ U (у) —f (х)] dy, здесь показатель времени пребывания Х(х)