Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
а (4) превратится в
/71 — 1
Равенство (5) может быть выполнено, только если для любого j сумма U В, =В; причем отдель-
ные слагаемые в этой сумме не пересекаются. Отсюда вытекает, что при любом j и всех со имеем: 2] %в (со) = %в(со), и выражение (6) равно левой
части (2).
Теперь найдем ME (Л), Л = (/, /'] X В, fief,. Имеем:
Mg ((t, ПХВ) = М хв (wr — wt) = МхвМ (wt— wt) = О,
потому что случайное событие В принадлежит ст-алгебре &~t, а приращение wt'—wt не зависит от этой 0-алгебры.
Если Л, = (/„ t\] X В„ А2 = (t2, t'2] X В2, В, t= Tt., Л1ПА, = 0, то непременно (tv /'] П (*2> ^>] = 0 или Bi(] В2 = 0. В первом случае мы можем считать, что первый полуинтервал лежит левее второго: i't^.i2. Тогда имеем:
Mg (Л,) I (Л2) = МxB(wt' — Wt,)xB2(ws — Wt^
(разумеется, черту над ?(Л2) можно и не ставить, раз наша случайная мера вещественна). Здесь первые три сомножителя измеримы относительно о-алгебры
и, а последний независим от этой о-алгебры, поэтому
Mg (Л,) g (Л2) = М/в (wt' — wtJ х^М (w^ — wtJ = 0.
Если же В) f] В2 = 0, то эта ковариация равна нулю из-за того, что % = 0.
В\ В2
Наконец, для A = (t,t'\X В, имеем:
М | g (Л) |2 = Мхв («)2 (wt' — wi)2 = М%в (со)2 М (wt- — wtf = = Мхв (ш) (t' — t) = mes (t, t'] P (B) = m (A).
Теорема доказана.
Мы видим, что выполнены условия теоремы 1 или Г § 2.2 (в случае /тах = оо в качестве множеств At берутся Л,- =(/о, ti\X Й, где ti-^oо). Полукольцо множеств вида (t, t']X В, В <^STt, порождает в (t0, /тах]Х Х& а-алгебру Фгей. Поэтому для f^L?((t0, /тах]Х^>
280
tPred, mes X P) определен стохастический интеграл
/(/)= S /(/, <o)g(d/d<o). (7)
(V W]xQ
Это и принимается за определение стохастического интеграла (1). Отображение / — единственное линейное изометричное отображение L2((t0, /тах] X Q, &red, mes X Р) в пространство L2(Q,, SF, Р) интегрируемых в квадрате случайных величин такое, что / (%^ t^%g) =
7max
= Хв {wt—Wt) При этом М ^ / (/, со) dwt =
to
= 0 для любой предсказуемой случайной функции / (/, со).
То, что со одновременно является и переменным, от которого зависит стохастический интеграл, и одной из координат переменного интегрирования (t, со) в (7), несомненно, несколько запутывает дело, затрудняя понимание; но в формулировках теорем 1, Г § 2.2 не было ничего, запрещающего такое их использование.
2. Рассмотрим некоторые примеры вычисления стохастических интегралов.
а) Пусть t0 < t{ < t2< ... </me (t0, /шах], а случайные величины /о(«), fi (со), - fm-1 (со) интегрируемы в квадрате и измеримы относительно 0-алгебр ...,STt соответственно. Положим
о 1 т — 1
т— 1
fit, ш)= Z fiHx(t. t..Л0- (8)
i =0 <+П
Эта случайная функция предсказуема и интегрируема в квадрате:
^шах - I
М 5 \f(t, со)|2Л = ? M|/?(co)|2(/i + I-0<°°-
;=о
Найдем стохастический интеграл от нее.
Для каждой случайной величины [,-е12(?2, 3~tv Р) существует последовательность 3~t .-измеримых простых случайных величин, сходящихся к ней в среднем квадратическом:
П
281
Отсюда вытекает, что
т -1 л
f(t, со) = l.i.m. ? Z сЧ;%вп (со)% t t (0 (10)
оо 1=0 /=1 il \ i’ 1 + 1J
(здесь уже речь идет о сходимости в среднем квадратическом не относительно меры Р, а относительно меры mes X Р в произведении (/0. Лпа*]Х ^)- По определению стохастического интеграла имеем
*тах т-1 п
\ f(t, a>)dwt = L i.m. У Yc"%Bn(«>)(wt — wt\ = I n^°° tb f=\ li y i}
m~ 1 n
У 1. i.m. У с?,%вп (<o)(wt —wt) (11)
TTn rrl и V ‘+1 i/
i~ 0 n-> oo /= 1
(речь идет опять о сходимости в L2(Q, ?Г, Р)). Предел в i-м слагаемом в (11) равен ft (a) (wti+i — wt.J. Имеем:
М
м
/=1
-шЛ2 (12) \ 1 + 1 //
(используем измеримость
относитель-
Z С"/ХВ* — fj
/= I I/
но #”/г и независимость гг></+) — wt{ от этой ст-алгебры^;
из (9) вытекает, что математическое ожидание (12) стремится к нулю при п—> оо.
Итак, для случайной функции f(t, со) вида (8) почти наверное
*max т — 1
^ / (f, <о)йи>* = ? fi (со) (au/.+1 — wt[). (13)
t0 i =0
б) Пусть 7’ = [0, оо), w0 = 0, т — марковский момент относительно данного семейства а-алгебр, причем Мт < оо. Случайная функция я<г(0> равная 1 при и 0 при t > т, предсказуема, потому
