Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
f (У) dy = 0.
Функция в квадратных скобках непрерывна по у, раз интеграл от ее произведения на любую финитную гладкую функцию равен нулю, то сама функция тождественно равна нулю.
Теорема доказана.
Условия теоремы 2 можно привести к более естественному виду, если решить следующую задачу.
Задача 1. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют условиям Ь‘(х)у(х), a‘i (х)ц>(х) -*¦ 0 при [x|->-oo. Тогда из того, что все финитные дважды непрерывно дифференцируемые функции принадлежат области определения инфинитезимального оператора, причем для них Af = Lf, вытекает, что то же выполняется для дважды непрерывно дифференцируемых функций f, удовлетворяющих такому условию: /, df/dx‘, d2f/dx‘dxi = О (qs(x)) при \х] ->¦ оо.
4. Теорема 2— перевод на язык дифференциальных уравнений общего соотношения из теории полугрупп dPif/dt = AP‘f; следующая теорема выводится из соотношения dP‘f/dt = APtf.
Введем ограничения на коэффициенты а1’, Ь‘: пусть функции а‘> (х) дважды, а Ь1(х) один раз непрерывно дифференцируемы (ограниченность производных не
273
предполагается). Тогда для дифференциального оператора определен (на гладких функциях) формально сопряженный оператор
L'g М = ~Yi nJkr (а‘7 {Х) g (х)} ~ S -?r (bi W ¦8 (*))•
a i
Теорема 3. Пусть (?ь Рх) — диффузионный процесс с производящим оператором L. Предположим, что плотность вероятностей перехода обладает непрерывными частными производными первого порядка по t и первых двух порядков по у‘, у'. Тогда переходная плотность удовлетворяет такому уравнению-.
dt 2 ^ ду‘ ду'
др
или -gf = Lup.
Доказательство. Пусть f е Сф„н. Тогда / е DA,
- —= P*Af (х) = P*Lf (х). Записывая это через
dt
плотность и ее частную производную по t, получаем
$
нГ
“j *¦ s)jZa"(y)W$r +
+ Р (t, х, у) J] b1 (у) dy.
Разобьем интеграл в правой части на г2 интегралов со вторыми частными произвольными и г интегралов с первыми и в каждом из этих интегралов произведем интегрирование по частям. Для финитной функции / внеинтегральные члены пропадут, и получим
*¦ Л)~
о.
274
Это означает, что функция в квадратных скобках тож дественно равна нулю.
— 6pj.
гг п о \ дР 1 Г даР и
Пример. Для процесса п. 2а) -щ- — — |^а —by
др_
ду
Полагая = из (8) получаем уравнение для плотности
инвариантной меры относительно меры Лебега: Lyp = 0.
Задача 2. Найдите инвариантную меру для процесса п. 2а) при b < 0.
5. Уравнение (6) называется обратным уравнением Колмогорова, (8) — прямым уравнением Колмогорова, или уравнением Фоккера — Планка. Поясним, с чем связаны названия обратное и прямое уравнения.
Для неоднородного по времени процесса (lt, Ps, х) можно доказать аналоги теорем этого параграфа, в которых будут участвовать локальные средние Ь1(з,х) и локальные ковариации ali(s,x), зависящие от времени. (При доказательстве можно использовать сведение неоднородных марковских семейств к однородным— см. конец § 8.4.) Уравнение (6) в этом случае принимает вид
dp (s. х, t, у) _ 1 , , д2р (s, х, t, у)
ds 2 4^ дх1 дх1
и
+ ? Ь< (s, х) ^f±lLL (9)
дх1
и уравнение (8)—вид dp (s, х, t, у) _ 1 V"» д2
dt 2 ду1 ду
I
9 (bHt, y)p(s, х, t, у)). (10)
ду
Первое из этих уравнений связано с дифференцированием по левому концу временного промежутка, второе— по правому.
С точки зрения теории дифференциальных уравнений уравнение (9) означает, что плотность вероятностей перехода есть фундаментальное решение парабо-
275
лического уравнения
JO.+±Y ач + Ybl — = О
ds + 2 La dxi dxi + L 0 dx‘ U-
4 i
Действительно, фундаментальным решением называется как раз функция p(s,x,t,y), s<t, х, y^Rr, удовлетворяющая при каждом фиксированном у уравнению (9) и требованию регулярности того типа, что наложили мы (условия (5) и пр.), и стремящаяся к б (у — х) при sf/ (что можно сформулировать так:
^p(s, х, t, у) / (у) dy -> / (х) при sf/ для любой f из
Сфин)- Иначе говоря, при помощи этой функции
представляется в виде u(s, x)=^/?(s, х, t, y)f(y)dy,
s < i, единственное ограниченное решение задачи Коши для рассматриваемого параболического уравнения с «конечным» условием u(t—,x) = f(x)\ (мы говорим не о начальном условии, потому что
уравнение вида -f- Lu = 0 решается «вниз», в отличие от уравнения вида -^ = Lu; ср. § 8.3, п. 7).
Уравнение (10) означает, что переходная плотность является также фундаментальным решением
уравнения -^- = L*v. В теории дифференциальных