Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 98

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 146 >> Следующая


Это доказывает = D А, Af = Af + cf.

Теперь, если supRec(*X0, то полугруппа Р*

X

состоит из сжимающих операторов, и w(t, х) = Р / (х)— единственное ограниченное решение уравнения

~2j7~= Aw i=Aw + cw) с начальным условием w\t=0=f.

Если же supRec(x)>0 или мы интересуемся ре-

X

шениями, растущими, но не быстрее экспоненты, то берем достаточно большое положительное а и рассматриваем

wa(t, х) = e~atw {t, х) = Млехр [с (У —a] dsj/(!,).

Это — единственное ограниченное решение задачи = Awa + cwa — awa, ша|<=0==/. т- е- — ae~atw +

+ e~at = e~at Aw 4- ce~atw — ae~atw, или Дт- = at dt

= Aw-j-cw, w\t=0 — f.

Теорема доказана.

Задача 13*. Для марковского семейства на X = {1, 2} с иифинитезимальной матрицей ^ 2 2) (т е- марковского се-

мейства задачи 1 § 8.1) найдите характеристическую функцию времени, проведенного в состоянии 1 до момента t.

Заметим, что для нахождения распределения ^ g (?s) ds обойтись только

| а. \ g (Ь) ds |

о

можно обойтись только действительными функциями, вычисляя

М.* ехр 1 М ? (Ь) ds ^ при действительных X. 262
Уравнение (7) (с начальными условиями (8) позволяет явно найти распределение различных фунционалов, например, от винеровского процесса, в частности, = mes ([0, t] f) {s: ws > 0}) = t

= ^ 0C(o, oo) (ws) ds- He будем приводить соответствующих

о

сложных выкладок; вывод распределения можно прочесть в книге Гихмана и Скорохода (1965, гл. VIII, § 5).

Задача 14*. Напишите выражение в виде математического ожидания функционала от траекторий, решающее задачу

Х-~ = Aw (t, х) + с (х) ю {t, х) + g (х), w (0, х) = f (х).

5. Задача 15. Пусть ?f, t е Т, прогрессивно измеримо, f е Da. Докажите, что компенсатор случайной функции /(|f) относительно семейства сг-алгебр и каждой из вероятностных

t

мер Р* равен ^ Af (?s) ds.

о
Глава 11 ДИФФУЗИИ

§ 11.1. Что такое диффузия?

1. Диффузии (диффузионные процессы) — это, грубо говоря, те марковские семейства, инфитезимальные операторы которых суть дифференциальные операторы, строго марковские семейства, траектории которых непрерывны. Примером диффузии может служить семейство винеровских процессов, выходящих из всевозможных начальных точек.

Почему «грубо говоря»? Дело в том, что даже для такого случая, как семейство винеровских процессов в Rr (г > 1), инфинитезимальный оператор в точности не совпадает с -^-Д (Д — оператор Лапласа), так

что соотношение инфинитезимального оператора и дифференциального оператора нужно уточнить. Можно по-разному уточнять, ослаблять, усиливать требование непрерывности траекторий. Кроме того, в уточнении нуждается и то, требуем ли мы в определении чего-то одного — свойств инфинитезимального оператора или непрерывности траекторий — или и того и другого. Эти свойства, как мы видели, близки друг к другу, но все же не совпадают; поэтому мы можем, варьируя их сочетания, получать близкие друг к другу, но все же разные определения.

Уточнения определения диффузии могут производиться в разных направлениях, так что нет единого стандартного определения диффузии, ;i есть различные рабочие определения, или, можно сказать, имеются определения разных классов диффузий.

Марковские семейства рассматриваемого класса являются математическими моделями движения отдельной частицы в процессе диффузии — проникновения одного вещества в другое за счет беспорядочного движения молекул — и в ряде других, сходных с диффузией физических процессов. Известно, что количественная сторона таких процессов хорошо описывается с помощью дифференциальных уравнений с частными производными;

264
с другой стороны, траектории реальных физических частиц, естественно, непрерывны.

Диффузии оказываются полезными также при изучении совершенно других явлений действительности; в частности, они возникают как предельные для дискретных моделей, описывающих различные биологические явления, такие, как изменение с течением времени численности особей определенного биологического вида или концентрации гена в популяции.

Теория диффузий, естественно, тесно связана с теорией дифференциальных уравнений в частных производных, причем эта связь — двусторонняя. С одной стороны; результаты из теории дифференциальных уравнений можно применять к диффузиям (см. гл. 13), с другой — рассмотрение диффузий позволяет получить некоторые результаты, касающиеся дифференциальных уравнений.

Одно из применений диффузий к дифференциальным уравнениям— приближенное решение уравнения методом Монте-Карло: процесс моделируется при помощи той или иной стохастической процедуры, и математические ожидания фунционалов от реализации процесса находятся приближенно как средние арифметические по большому числу независимых реализаций.
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed