Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы. Пусть / е СраВН, б — произвольно малое положительное число. Выберем е > 0 так, чтобы приращения всех вторых частных производных / на отрезках длины меньше е были меньше б; поэтому е выберем h > 0 так, чтобы при
267
t ^ h все o(t) в (1) — (3) было по абсолютной величине меньше 6 -t для всех х. Воспользуемся разложением Тейлора:
i
+ yZ 5^7 W - *W-x>) + a\y-xft
if
Г2
где | a | = j a (x, t/) | < 6 при [ у — x | < e. Подставим
это выражение в формулу
P‘f (х) - / (х) = J Р (t, х, dy) [f (у) - / (*)] =
Rr
= \ [f(y) — f(x)]P(t,x,dy) +
Ug(x)
+ \ [f(y) — f(x)]P(t,x,dy),
VE(x)
вернее, в первый интеграл в правой части; получим P‘f(x)-f(x) =
Ue(x)L i lj
X (у! — xi) + a I у — x pj P (t, x, dy) +
+ \ [f(y) — f(x)\P(t,x,dy).
Ve(x)
В силу (2), (3) первый интеграл будет равен
У М ь‘ М t ~ У —т~т М aii Wt + ° (О
/-,дх‘ 2 дх‘ дх'
< <7
плюс слагаемое, не превосходящее
и в силу выбора h этот интеграл будет отличаться от tLf(x) менее чем на
d*f
дх1дх'
Ея"
+ Т-6
Второй интеграл в силу (1) оценивается по модулю величиной 2||/||о(/), и при t ^ h он не превосходит 2H/IU6. Значит, |t~1{Ptf(x) — f{x))—Lf(x) | не превосходит при малых t скольких-то б; так как б произвольно мало, то получаем, что эта разность равномерно стремится к нулю при tj-О, т. е. /еДд и Л| = Lf.
Пример — вычисление инфинитезимального оператора винеровского процесса (задача 4 § 10.1).
В условиях теоремы 1 (|г, Р*) оказывается диффузионным процессом с производящим оператором L ,(если сделать траектории непрерывными).
2. Условия теоремы 1 слишком ограничительны*); из них, в частности, вытекает, что коэффициенты Ь\ а*1 ограничены во всем пространстве (иначе для некоторых f е Сравн оператор L будет давать неограниченную функцию Lf). Эти условия можно ослабить, если ограничиться финитными функциями /.
Теорема Г. Пусть (?*, Рх)— марковское семейство на (Rr, J?r) такое, что условия (1) — (3) выполняются при /|0 равномерно по х в пределах каждого ограниченного множества, и для каждого ограниченного К существует ограниченное множество К' К такое, что
P(t, х, K) — o(t) (4)
при t\0 равномерно по х е Rr\K'. Тогда инфинитезимальный оператор определен на всех функциях / е е Сф1И (дважды непрерывно дифференцируемых финитных), и на них он равен Lf.
Доказательство. Пусть f—гладкая финитная функция, обращающаяся в нуль вне компакта /С; выбираем К.' zd К по условию теоремы. Нужно доказать,
*) Настолько ограничительны, что мы не смогли привести ни одного красивого или интересного с точки зрения приложений примера, кроме винеровского процесса
269
что t-'(P‘f(x) — f(x))^>-Lf(x) при t\0 равномерно по х е Rr. В случае х е К' действует доказательство теоремы 1; в случае хфК! — условие (4).
Примеры.
а) Для однородного по времени гауссовского марковского семейства (задача 2 § 8.1 в однородном варианте^ переходная плотность задается формулой
р (/, у) = '-----------
•у 2л. a (<)
где m(t), t 5= 0, удовлетворяет уравнению m(? + s) = m(t)m(s), a o2(t) связано с этой функцией уравнением a2(^ + s) = = m2(t) a2 (s) + o2(t). Можно доказать, что общее непрерывное решение системы этих уравнеий имеет вид m(t) = ebi/2t o2(t) = = ab~1(ebt— 1) при b ф 0, a2(t) = at при 6 = 0.
Легко проверяется выполнение условий (J)—(3) (равномерно в пределах каждого компакта) и (4). Локальное среднее и локальная дисперсия оказываются равными
b(x) = \\mt~1Mx(lt -х) х(_е, е) (?,-*) =
= lira t *М — я) = lira t 1 (т (t) х — х) = -г- х,
а (*) = lira <_1МХ (?,; — дс)2 х(_Е, Б> (Ij — *) = Urn t~lo2 (t) = a, t \ 0 t \ 0
производящий оператор Lf (x) = f" (x) + xf' (x).
б) Еще один гауссовский пример (на этот раз двумерный):
t
(“>г. ?0, гДе wt—винеровский процесс, ^ ws ds. Рас-
о
пределение в момент t при начальной точке Wo = х, §о = у — нормальное с математическими ожиданиями (х, у -\-tx) и мат-
(t t2/2 \
t2j2 t3(3 ) ^см' задачУ § 2.1). Локальные математические ожидания и локальные ковариации равны производным этих функций в нуле (интегралы по ?/е (*• У) от~ личаются от интегралов по всей плоскости лишь на o(t)). Отсюда bi(x, у) = 0, Ь2(х, у) — х, аи(я, у) == 1, а12 = а21 =
1 d2f -
__ а22 — д. Производящий оператор есть Lf (х, у) = — +