Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это означает, что по резольвенте Rx однозначно восстанавливается полугруппа Р* на пространстве В0 ее сильной непрерывности. Пусть пространство В0 содержит достаточно много функций — настолько много, что из <v,/>= 0 для всех feB0 вытекает v = 0; например, в случае, когда фазовое пространство (Х,96)—о-компактное метрическое пространство с о-алгеброй 3&х его борелевских подмножеств в качестве 96, достаточно, чтобы В0^ С или даже B0^CvaBH. Тогда по резольвенте однозначно восстанавливается переходная функция, а значит, и все конечномерные распределения марковского семейства.
Задача 1. Докажите, что из равномерной стохастической непрерывности марковского семейства (см. § 9.1, п. 2) вытекает
Во — Сравн-
2. Найдем резольвенту для семейства одномерных винеровских процессов:
00 — 00 _
RJ м= 5 е~и § р V' х' ^ f ^ dy \ dt =
О L-OO J
00 — 00 —
= § П e~ktp *’у) dt
где плотность р (t, х, у) = {2n.t)~^2 . Воспользовав-
шись справочником интегралов (например, И. М. Рыжик и И. С. Г радштейн «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений» (М.: Физматгиз, 1962)), найдем
ОО
' [ е~и (2я <Г1/2 e~<y~x)2l2t dt = -tL- е~^ Ху~хК
J V 2Я
f (у) dy.
Итак,
RJ (х) = ^ е ^ 1 у х 1 f (у) dy. (3)
248
3. Пользуясь теоремой Фубини и полугрупповым свойством, доказываем:
оо
PhRJ (х) = RkPhf (х) = J e~uPt+hf (х) dt =
U
оо
= eXh J e~ksPsf (х) ds, (4)
h
RuRJ = (Ц - Л.)"1 [RJ - RJ], Я, (х > О, II ф Я. (5)
В частности, операторы Ph, R%, Rц перестановочны. Формула (5) называется резольвентным уравнением; ее можно переписать в виде RhRk = RxRn =
= {\i-h)-'(Rx-R»)-
Резольвентное уравнение дает возможность установить, что область значений оператора Rk одна и та же при всех Я > 0: RiB = R^B. Вообще говоря, не любую функцию из В можно представить в виде Rif) но если мы ее представили в таком виде, то она также представляется в виде R^. [/ + (ц— X)Rif].
Задача 2. Докажите, что R^B s BQ.
Задача 3. Докажите, что для любого / е В0
f= lim ЯRJ. (6)
А, -> ОО
Раз преобразование Лапласа однозначно задает P‘f, все свойства Р‘ должны найти отражение в свойствах RТому, что
II Р* II 1, отвечает Ц^Ц^А-1; из того, что Р‘ сохраняет положительность, вытекает, что и операторы R^ сохраняют положительность: RJ ^ 0 для f ^ 0.
Полугрупповому свойству P‘+s —
= P‘PS соответствует резольвентное уравнение; (6) отвечает свойству Р° = Е (точнее, тому, что
lim P*f = Ef = f). t + о
4. Оказывается, опера- Рис. 29
тор Rx, если его рассматривать только на В0, является обратным к оператору ХЕ — А, определенному на Da- Иначе говоря, эти операторы осуществляют обратные друг к другу взаимно однозначные отображения В0 на Da и обратно (рис. 29).
249
Нужно доказать, что для /еВ0 функция Rxf^DA и (ХЕ— A)Rxf — f и что для / <= DA будет Rx(Xf—
— Af) = f. Достаточно, конечно, рассмотреть ARxf и RxAf.
Для / еВ0 в силу формулы (4)
ARJ = Urn h-'ipnRJ-Rj}^
вычитая и прибавляя \ e~xiPffdt, получаем, что
Следствия. Во-первых, оператор А однозначно задает полугруппу на В0. Действительно, по оператору А находятся операторы ХЕ—А, X > 0, по ним — резольвента (кстати, теперь понятно, почему употребляется такое название), а по резольвенте однозначно восстанавливается полугруппа.
В частности, получаем, что для равномерно стохастически непрерывного марковского семейства на о-компактном фазовом пространстве конечномерные распределения однозначно определяются инфинитези-мальным оператором.
Во-вторых, область определения Da всюду плотна в Во- Это вытекает из DA — RxB0 и (6): для любой функции существует равномерно сходящаяся
к ней последовательность функций из RxB0.
В-третьих, оператор А замкнут, потому что представляется в виде ХЕ — Rkl, а замкнутость оператора Rk вытекает из того, что он ограничен и рассматривается на замкнутом множестве (а именно В о). Напомним, что оператор А Свообще говоря, неограниченный) называется замкнутым, если его график — множество пар (/, Af)—замкнут, иначе говоря, если из fn-*-f, Afn^~g вытекает f Da, Af = g. Все операторы, получившиеся в приме-
л*о
ОО
оо
h
Для f ^ Da в силу формулы (4) § 10.1
о
о
оо
= e-xtptf |” _ J P*f JL е-м dt = -f + XRJ.
о
250
pax п. 2 § 10.1, где мы в точности нашли инфинитезимальный оператор, естественно, замкнуты; в тех случаях, когда мы нашли